第41章 学科结合与高中衔接问题
一、选择题
1. ）如图，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB
于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？
A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 75 【答案】C
2. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
【答案】C
3. 如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）
B．
C．
D．
xy图4x
yyyy OxOx
Oxo x
A．
1
B． C． D．
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【答案】A
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的 直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长 度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分 别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是 4 23ylABMONC10题图xs43s43s43s3232323 O
24tO24tO24tO24tABCD【答案】C
4.如图(八)，三边均不等长的?ABC，若在此三角形内找一点O，使得?OAB、?OBC、
?OCA的面积均相等。判断下列作法何者正确？
A． 作中线AD，再取AD的中点O B． 分别作中线AD、BE，再取此两中线的交点O C． 分别作AB、BC的中垂线，再取此两中垂线的交点O D． 分别作?A、?B的角平分线，再取此两角平分线的交点O 【答案】B 二、解答题
1. 在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，－2），将线段AB绕点A按逆时针
方向旋转90°至AC． ⑴ 求点C的坐标；
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2
⑵ 若抛物线y??12x?ax?2经过点C． 2 ①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角
形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】：解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D， 在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD＋∠BAO＝90°, 而∠ABO＋∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO， 又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB， ∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2， ∴点C的坐标为(3,－1)
1
(2)①∵抛物线y??2x2?ax?2经过点C(3,－1)， ∴?1??12?32?3a?2,解得a?12
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∴抛物线的解析式为y??121x?x?2 22解法一：② i) 当A为直角顶点时 ，延长CA至点P1,使AP1?AC?AB, 则△ABP1是以AB为直角边的等腰直角三角形,
如果点P1在抛物线上,则P1满足条件,过点P1作P1E⊥x轴, ∵AP1＝AC,∠EAP, 1EA＝∠CDA＝90°1＝∠DAC，∠P∴△EP1A≌△DCA，∴AE＝AD＝2, EP1＝CD＝1,
∴可求得P1的坐标为(－1,1)，经检验P1点在抛物线上,因此存在点P1满足条件； ii） 当B点为直角顶点时，
过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取BP2?BP3?AB，得到以AB为直角边的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，作P2F⊥y轴，同理可证△BP2F≌△ABO
∴P2F?BO?2, BF＝OA＝1，可得点P2的坐标为（－2，－1），经检验P2点在抛物线上,因此存在点P2满足条件．同理可得点P3的坐标为（2，－3），经检验P3点不在抛物线上．
综上：抛物线上存在点P1(－1,1)，P2（－2，－1）两点，使得△ABP1和△ABP2
是以AB为直角边的等腰直角三角形．
解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以给满分） i) 当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为y??11x? 2211?y??x??22?由?解之可得P1(－1,1) （已知点C除外）作P1E⊥x轴于E,则?121y??x?x?2?22?AE＝2, P1E＝1, 由勾股定理有又∵AB＝5,∴AP1?AB，∴△P1AB是以AB为直角边的等腰三角形；
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4
ii）当B点为直角顶点时，过B作直线L∥AC交抛物线于点P2和点P3，易求出直线L的解
1?y??x?2?21?析式为y??x?2，由?解得x1??2或x2?4
2?121?y??x?x?222?∴P2(－2,－1)，P3（4，－4）作P2F⊥y轴于F，同理可求得BP2?5?AB
∴△P2AB是以AB为直角边的等腰三角形作P3H⊥y轴于H，可求得
22 BP?2?4?25?AB，∴Rt△ABP3不是等腰直角三角形，∴点P3不满足条件．3综上：抛物线上存在点P1(－1,1)，P2（－2，－1）两点，使得△ABP1和△ABP2 是以角AB为直边的等腰直角三角形．
2. 如图，抛物线y??x2?5417过点A的直线与抛物线交于另一点B，x?1与y轴交于点A，
4过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）. （1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.
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第41章 学科结合与高中衔接问题-2020年中考数学学霸专题训练营(解析版)
