根据a1?a7?a13?3a7?6得到a7?2，S13?13a7，得到答案. 【详解】a1?a7?a13?3a7?6，故a7?2，S13?故答案为：26.
【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 15.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．
?a1?a13??13?13a27?26.
【答案】3a2 【解析】
已知正三棱柱的主视图的底边长为a，正三棱柱的主视图面积为2a2，所以该正三棱柱的高为
2a.因为正三棱柱的底面为边长为a的正三角形，所以左视图的底边长为
3a?3a2. 23a，所以左视图2的面积为S?2a?16.在数列{an}中,a1=3,an?1?an?【答案】an?6?【解析】 【分析】
变换得到an?1?an?3 ,则通项公式an = ______.
n(n?1)3 n31??1?3???，利用累加法计算得到答案.
n(n?1)?nn?1?【详解】an?1?an?331??1?3??，故an?1?an??.
n(n?1)n(n?1)nn?1??3?1?an??an?an?1???an?1?an?2??...??a2?a1??a1?3?1???3?6?.
n?n?故答案为：an?6?3. n【点睛】本题考查了裂项相消法，累加法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.
三.解答题(6个小题,共70分)
17.解不等式:x2?(k?1)x?k. 【答案】答案不唯一，详见解析 【解析】 【分析】
变换得到(x-k)(x-1)>0，讨论k?1,k?1,k?1三种情况，计算得到答案. 【详解】x2>(k+1)x-k变形为(x-k)(x-1)>0, 当k>1时,不等式的解集是{x|x<1或x>k}； 当k=1时,不等式的解集是{x|x≠1}； 当k<1时,不等式的解集是{x|x
综上所述：k?1时，解集为{x|x<1或x>k}；k?1时，解集是{x|x≠1}；k?1时，解集是{x|x
【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握. 18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA． （1）求A；
（2）若a＝2，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长． 【答案】（1）A?【解析】
试题分析：（1）由ccosB?bcosC?2acosA根据正弦定理可得
?3；（2）6.
sinCcosB?sinBcosC?2sinAcosA，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得cosA?∴A?1，2?3；（2）由VABC的面积为3，可得 bc?4，再利用余弦定理可得b?c?2，从而
可得VABC的周长.
试题解析：（1）∵ccosB?bcosC?2acosA，∴sinCcosB?sinBcosC?2sinAcosA. ∴sin?B?C??2sinAcosA， ∴sinA?2sinAcosA.
∵A??0,??，∴sinA?0，∴cosA?（2）∵VABC的面积为3，∴由a?2，A?1?，∴A?. 2313bcsinA?bc?3，∴bc?4. 24?3及a2?b2?c2?2bccosA，得4?b2?c2?4，∴b2?c2?8.
又bc?4，∴b?c?2. 故其周长为6.
19.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3?a8?20，且a5是a2与a14的等比中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足bn?1，求数列{bn}的前n项和Sn . anan?1【答案】（1）an?2n?1 （2）【解析】
n 2n?1试题分析：（1）根据等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.
试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项， ∴
∴an=1+2（n-1）=2n-1． （2）bn=
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=
=（1-（+
点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于cn?an?bn，其中
?a?n和?bn?分别为特殊数列，裂项相消法类似于an?cn?an?bn，其中an为等差数列，?bn?为等比数列等.
??的，解得a1=1，d=2，
），
-+…+
）=
（1-）=
．
1，错位相减法类似于
n?n?1?20.在我校高二年段即将准备开展数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上，一等奖人数不少于3人，且一等奖
奖品价格为30元，二等奖奖品价格为20元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少？
【答案】本次活动购买奖品【解析】 【分析】
最小费用为190元.
先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值．
【详解】设一等奖人数为x，二等奖人数为y，本次活动购买奖品的费用为z，
?目标函数为：z?30x?20y，
?x?y?10?y?x?2??约束条件为?x?3画出满足条件的平面区域，
?x?N*?*??y?N?y?x?2
联立?x?3，得A?3,5?
?
设直线l0：30x?20y?0，通过平移直线l0，易知z在点A?3,5?处取得最小值190，
的
?本次活动购买奖品的最小费用为190元．
【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力.已知两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值.找最优解时注意斜率和倾斜角大小关系． 21.设f(x)?sinxcosx?cos?x?2?????,4?x?R．
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）在锐角?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()?0,a?1，求?ABC面积的最大值． 【答案】（1）??【解析】 【分析】
（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y?Asin(?x??)的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （2）根据f?A2?????k?,?k??,k?Z（2）2?3
4?4?4?A???0,a?1，求出sinA，可得cosA，利用余弦定理，利用基本不等式的性?2?质求出bc的最大值，可得?ABC面积的最大值． 【详解】解：（1）f(x)?sinxcosx?cos?x?2?????,x?R． 4?化简可得：f(x)?111???sin2x??cos?2x?? 2222??111?sin2x?sin2x? 2221?sin2x?，
2由??2?2k??2x??2?2k?,k?Z．
可得：??4?k??x??4?k?(k?Z)，
?????函数f(x)的单调递增区间是：???k?,?k??,k?Z
4?4?（2）由f?1?A??0sinA??0， ，即?22??1， 2可得sinA?0?A??2
内蒙古包头市第六中学2024-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析
