内蒙古包头市第六中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析

由天下分享时间：2024/9/8 11:34:48 加入收藏我要投稿点赞

内蒙古包头市第六中学2018-2019学年高一下学期期中数学

试卷

一.选择题:(每题5分,共60分)

1.下列结论正确的是（）． A. 若ac?bc，则a?b C. 若a?b，c?0，则ac?bc 【答案】C 【解析】

分析：根据不等式性质逐一分析即可.

详解：A. 若ac?bc，则a?b ,因为不知道c的符号，故错误；B. 若a2?b2，则a?b 可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若a?b，则a?b，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.

点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题. 2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a?A.

B. 若a2?b2，则a?b D. 若a?b，则a?b

5，c?2，cosA?2，则b= 32

C. 2 D. 3

【答案】D 【解析】

【详解】由余弦定理得

，

解得（舍去），故选D.

【考点】余弦定理

【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积共9升，下面3节的容积共45升，则第五节的容积为（）

A. 7升【答案】C 【解析】

B. 8升 C. 9升 D. 11升

a1?1a1?a2?a3?9a2?3?a5?1?2?4?9，故应选答?{由题设可得{，由此可得{d?2a7?a8?a9?45a8?15案C ．

4.在?ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a ? 2bcos?C,则此三角形一定是( )

A. 等腰直角三角形形或直角三角形【答案】C 【解析】在

B. 直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰三角

?ABC中，

a2?b2?c2a2?b2?c2QcosC?,?a?2bcosC?2b?2ab2ab，

?a2?a2?b2?c2，?b?c,?此三角形一定是等腰三角形，故选C.

【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 5.已知数列{an}满足a2?2，2an?1?an，则数列{an}的前6项和S6等于（） A.

63 16B.

63 12C.

63 8D.

63 4【答案】C 【解析】

由2an?1?an得数列

?an?是以

1为公比的等比数列，所以a1?4，故2S6?a1(1?q)?1?q64?6364?63 1826.函数f(x)?cosx?3sin?x?A. 1 【答案】A 【解析】【分析】

?????的最大值为( ) 3?C. 2

D. 3?1

B. 3 ???化简得到f(x)?sin?x??，得到答案.

6??【详解】f(x)?cosx?3sin?x?????31????sinx?cosx?sinx????， 3?226??故当x?2??2k?时，函数有最大值31.

故选：A.

【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力.

7.已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（） A. [-1，2] 【答案】C 【解析】由题意得

B. [-1，

1 ] 2C. [-

1，1] 2D. [-1，-

1] 2?2,1 为方程ax2?x?b?0 的根,且a?0 ,所以

因

此

不

等

式

bx2-x+a≤0

为

?2?1?1b,?2?1??a??1,b?2aa12x2?x?1?0???x?1 ,选C.

28.已知等比数列{an}满足a1?a3?10,a2?a4?5，则a5= A. 1 【答案】B 【解析】依

题

意

有

1 2C.

1 4D. 4

1a1?a1q2?10,a1q?a1q3?5?a1?a1q2q,q?,a1?82??，故

a5?a1q4?8?11?. 1629.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（） A. 52 2B. 5

C. 52 D. 62

【答案】C 【解析】【分析】

利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【详解】∵在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2， ∴

1acsinB＝2，即c＝42， 2∴由余弦定理得：b2?a2?c2﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即b＝5，则由正弦定理得：2R?故选C．

【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

10.当x?R时，不等式kx2?kx?1?0恒成立，则k的取值范围是（） A. (0,??) 【答案】C 【解析】

当k?0时，不等式kx2?kx?1?0可化为1?0，显然恒成立；当k?0时，若不等式

B. ?0,???

C. ?0,4?

D. （0，4）

b?52． sinB?k?0x 解kx?kx?1?0恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则?2V?k?4k?0?2得：0?k?4，综上k的取值范围是0,4?，故选C.

11.已知等差数列?an?的前n项为Sn，且a1?a5??14，S9??27，则使得Sn取最小值时的

?n为（）．

A. 1

B. 6

C. 7

D. 6或7

【答案】B 【解析】

试题分析：由等差数列

的性质，可得

，又

，所以，所以数列

的通项公式为得

，令

取最小值时的

，解为

，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得

，故选B．

考点：等差数列的性质.

12.化简tan70?cos10?(3tan20??1)的值为（） A. 1 【答案】C 【解析】原=

式

B. 2

C. -1

D. -2

sin70osin20o?o??cos10?3?1?oocos70?cos20?=

cos20ocos10o?3sin20o?cos20o????o??sin20ocos20??=

cos10osin20ooo?2sin20?30????1 oosin20sin20??二.填空题(每题5分,共20分)

13.已知a?0,b?0，并且【答案】16 【解析】由题可得：

111,,成等差数列，则a?9b的最小值为_________. a2b1111a9b??1，故a?9b?(a?9b)(?)?1???9?16 ababba14.在等差数列{an}中,若a1+a7+a13 = 6,则S13 = ______ . 【答案】26 【解析】【分析】

根据a1?a7?a13?3a7?6得到a7?2，S13?13a7，得到答案. 【详解】a1?a7?a13?3a7?6，故a7?2，S13?故答案为：26.

【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 15.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．

?a1?a13??13?13a27?26.

【答案】3a2 【解析】

已知正三棱柱的主视图的底边长为a，正三棱柱的主视图面积为2a2，所以该正三棱柱的高为

2a.因为正三棱柱的底面为边长为a的正三角形，所以左视图的底边长为

3a?3a2. 23a，所以左视图2的面积为S?2a?16.在数列{an}中,a1=3,an?1?an?【答案】an?6?【解析】【分析】

变换得到an?1?an?3 ,则通项公式an = ______.

n(n?1)3 n31??1?3???，利用累加法计算得到答案.

n(n?1)?nn?1?【详解】an?1?an?331??1?3??，故an?1?an??.

n(n?1)n(n?1)nn?1??3?1?an??an?an?1???an?1?an?2??...??a2?a1??a1?3?1???3?6?.

n?n?故答案为：an?6?3. n【点睛】本题考查了裂项相消法，累加法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.

三.解答题(6个小题,共70分)

17.解不等式:x2?(k?1)x?k. 【答案】答案不唯一，详见解析【解析】【分析】

变换得到(x-k)(x-1)>0，讨论k?1,k?1,k?1三种情况，计算得到答案. 【详解】x2>(k+1)x-k变形为(x-k)(x-1)>0, 当k>1时,不等式的解集是{x|x<1或x>k}；当k=1时,不等式的解集是{x|x≠1}；当k<1时,不等式的解集是{x|x1}；

综上所述：k?1时，解集为{x|x<1或x>k}；k?1时，解集是{x|x≠1}；k?1时，解集是{x|x1}.

【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握. 18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA．（1）求A；

（2）若a＝2，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长．【答案】（1）A?【解析】

试题分析：（1）由ccosB?bcosC?2acosA根据正弦定理可得

?3；（2）6.

sinCcosB?sinBcosC?2sinAcosA，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得cosA?∴A?1，2?3；（2）由VABC的面积为3，可得 bc?4，再利用余弦定理可得b?c?2，从而

可得VABC的周长.

试题解析：（1）∵ccosB?bcosC?2acosA，∴sinCcosB?sinBcosC?2sinAcosA. ∴sin?B?C??2sinAcosA， ∴sinA?2sinAcosA.

∵A??0,??，∴sinA?0，∴cosA?（2）∵VABC的面积为3，∴由a?2，A?1?，∴A?. 2313bcsinA?bc?3，∴bc?4. 24?3及a2?b2?c2?2bccosA，得4?b2?c2?4，∴b2?c2?8.

又bc?4，∴b?c?2. 故其周长为6.

19.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3?a8?20，且a5是a2与a14的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn?1，求数列{bn}的前n项和Sn . anan?1【答案】（1）an?2n?1 （2）【解析】

n 2n?1试题分析：（1）根据等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.

试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项， ∴

∴an=1+2（n-1）=2n-1．（2）bn=

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=

=（1-（+

点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于cn?an?bn，其中

?a?n和?bn?分别为特殊数列，裂项相消法类似于an?cn?an?bn，其中an为等差数列，?bn?为等比数列等.

??的，解得a1=1，d=2，

），

-+…+

）=

（1-）=

．

1，错位相减法类似于

n?n?1?20.在我校高二年段即将准备开展数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上，一等奖人数不少于3人，且一等奖

奖品价格为30元，二等奖奖品价格为20元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少？

【答案】本次活动购买奖品【解析】【分析】

最小费用为190元.

先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值．

【详解】设一等奖人数为x，二等奖人数为y，本次活动购买奖品的费用为z，

?目标函数为：z?30x?20y，

?x?y?10?y?x?2??约束条件为?x?3画出满足条件的平面区域，

?x?N*?*??y?N?y?x?2

联立?x?3，得A?3,5?

设直线l0：30x?20y?0，通过平移直线l0，易知z在点A?3,5?处取得最小值190，

的

?本次活动购买奖品的最小费用为190元．

【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力.已知两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值.找最优解时注意斜率和倾斜角大小关系． 21.设f(x)?sinxcosx?cos?x?2?????,4?x?R．

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）在锐角?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()?0,a?1，求?ABC面积的最大值．【答案】（1）??【解析】【分析】

（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y?Asin(?x??)的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据f?A2?????k?,?k??,k?Z（2）2?3

4?4?4?A???0,a?1，求出sinA，可得cosA，利用余弦定理，利用基本不等式的性?2?质求出bc的最大值，可得?ABC面积的最大值．【详解】解：（1）f(x)?sinxcosx?cos?x?2?????,x?R． 4?化简可得：f(x)?111???sin2x??cos?2x?? 2222??111?sin2x?sin2x? 2221?sin2x?，

2由??2?2k??2x??2?2k?,k?Z．

可得：??4?k??x??4?k?(k?Z)，

?????函数f(x)的单调递增区间是：???k?,?k??,k?Z

4?4?（2）由f?1?A??0sinA??0，，即?22??1， 2可得sinA?0?A??2

?cosA?3． 2由余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA，可得1?3bc?b2?c2．

Qb2?c2…2bc，当且仅当b?c时等号成立． ∴1?3bc…2bc， bc?2?3．

12?3． ∴?ABC面积的最大值S?bcsinA?24故得三角形ABC面积最大值为

2?3． 4【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．

22.已知数列?an?的前n项和为Sn，Sn?2an?3．（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；（Ⅱ）求数列?nan?的前n项和Tn. 【答案】（Ⅰ）an?3?2【解析】试题分析：

（Ⅰ）由Sn?2an?3写出当n?2时，Sn?1?2an?1?3，两式相减可得数列的递推式，再求得

n?1n（n?N*）；（Ⅱ）Tn?3(n?1)2?3（n?N*）．

a1，从而确定数列{an}是等比数列，得通项公式；