灰色系统建模
灰色系统理论在建模中的应用:灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍. 累加生成:
令x(0)为原始序列,x(0)?[x(0)(1),x(0)(2),记生成数为x(1),x(1)?[x(1)(1),x(1)(2),x(1)与x(0)之间满足如下关系:k,x(0)(n)],,x(1)(n)],如果
x(1)(k)??x(0)(i);k?1,2,,ni?1(2?1)
则称为一次累加生成,记为1?AGO
累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的
累减生成:累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为?.
的,递增的数列.令x为r次生成数列,对x作i次累减生成记为?,其基本关系式为:?(0)[x(r)(k)]?x(r)(k)?(1)[x(r)(k)]??(0)[x(r)(k)]??(0)[x(r)(k?1)]?(2)[x(r)(k)]??(1)[x(r)(k)]??(1)[x(r)(k?1)]?(i)[x(r)(k)]??(i?1)[x(r)(k)]??(i?1)[x(r)(k?1)](2?5)(i)
(r)(r)
式中,?(0)(0)为0次累减,即无累减;?(1)(0)为1次累减,即k?1与k时刻两个零次累减量求差,?(i)(0)为i次累减,即k?1与k时刻两个i?1次累
减量求差.
从式(2?5)还可得到以下关系:
?(1)[x(r)(k)]??(0)[x(r)(k)]??(0)[x(r)(k?1)]?x(r)(k)?x(r)(k?1)??x(r?1)(i)??x(r?1)(i)i?1i?1kk?1(2?6)?x(2)(r)(r?1)(k)(r)(1)(r)
?[x(k)]??[x(k)]??[x(k?1)]?x(r?1)(k)?x(r?1)(k?1)??x(r?2)(i)??x(r?2)(i)i?1i?1kk?1(1)(2?7)?x(r?2)(k)
同理可得:
?[x(k)]?x(i)(r)(r?i)(k)(2?8)
?(r)[x(r)(k)]?x(0)(k)(2?9)
从(2?9)式可以看出,对r次生成数列作r次累减,即还原为非生成数列.事实上,累加中包含着累减,累减中包含着累加比如.:r?1时,有
x(k)??x(i)??x(i)?x(k)(1)(0)(0)(0)i?1i?1kk?1?x(k?1)?x(k)(0)(1)(1)(1)(0)(2?10)
x(k)?x(k)?x(k?1)(r?1)(r)(r)x(k)?x(k)?x(k?1)进一步有(2?11)
均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种. 级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法.对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填补空缺,只能采用级比生成.级比生成在建模中可以获得较好的灰指数律.级比生成是级比?(k)与光滑比?(k)生成的总称.设序列X(0)?[x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(n)]为原始序列,
称?(K)为级比,?(k)为光滑比,其表达式为?(k)?x(0)(k)/x(0)(k?1)?(k)?x(0)(k)/x(1)(k?1)设X(0)?[?(1),x(0)(2),(2?12)
,x(0)(n?1),?(n)]为端点是空穴的序列,若用?(1)右邻的级比生成x(0)(1),用?(n)的左邻级比生成x(0)(n),则称x(0)(1)和x(0)(n)为级比生成
GM(1.1)模型建模机理 GM(1.1)原理步骤 原始数列：
X(0)??x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(n)?
对X(0)进行一次累加，得到新数列：
X(1)??x(1)(1),x(1)(2),,x(1)(n)?
k其中,x(1)(k)??x(i)i?0
于是
x(0)(k)的GM（1.1）白化形式的微分方程为： dx(1)?ax(1)dt?u(2?16) 其中，a,u为待定系数，将（2-16）式离散化，即得：
?(1)(x(1)(k?1))?az(1)(x(k?1))?u(2?17)其中，
?(1)(x(1)(k?1))为x(1)在（k+1）时刻的背景值 因为：
?(1)(x(1)(k?1))?x(1)(k?1)?x(1)(k)?x(0)(k?1)z(1)(k?1)?1(x(1)(k?1)?x(1)2(k))(2?19)
将（2-18），（2-19）式代入（2-17）式，得
x(0)(k?1)?a[?1(x(1)(k)?x(1)2(k?1))]?u将（2-20）
????1(x(1)(1)?x(1)(2))1???x(0)(2)??2??x(0)(3)???1(1)(1)????(x(2)?x(3))1?(2?21)??????2??x(0)(n)????????12(x(1)(n?1)?x(1)(n))1???
(2?18)
(2?20)
?1(1)?(1)?(x(1)?x(2))1?2??x(0)(2)????(0)?1??(x(1)(2)?x(1)(3))1?x(3)???令Y?,B??2????????(0)?x(n)????1(1)?(1)??(x(n?1)?x(n))1??2?
??[au]T为待辨识参数向量，则（2-21）可写成：
Y?B?(2?22)
参数向量?可用最小二乘法求取，即
??[a?,u?]T?(BTB)?1BTY ?把求取的参数代入（2-16）式，并求出其离散解
??u?u?(1)(k?1)?[x(1)(1)?]e?akx???aa?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k)x??u??(1?ea)[x(1)(1)?]e?ak?a(2?24)
(2?25)
还原到原始数据得
(2?24),(2?25)式称为GM(1.1)模型的时间相应函数模型,它是GM(1.1)模型灰色预测的具体计算公式.（GM1.1）模型的精度检验
模型选定之后,一定要经过检验才能判定其是否合理,只有通过检验的模型才能用来作预测,灰色模型的精度检验一般有三种方法:相对误差大小检验法,关联度检验法和后验差检验法.下面对这三种方法做个简单介绍.1 级比检验：
为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。 原始数列：
X(0)??x(0)(1),x(0)(2),级比表达式为：
,x(0)(n)?
灰色预测总结
