高等数学公式
求导公式表：
(C) 0 （ C 为常数）；
(ax
)
a x ln a ；
(a 0,a 1)
1
；
(log a x) xln a (a 0,a 1)
； (sin x) cosx
(tan x)
sec2
x
1
；
2 cos x
2
1 ； (cot x)
csc x
sin 2 x
1
；
(arcsin x)
2
1 x
(arctan x)
1 ；
1 x2
基本积分表：
（ k 为常数） . 特别地，当 k k d x kx C
x dx
1 1)
x 1
C (
1
1
dx
ln | x | C
x
ax
dx ax
C (a 0, a 1)
.
ln a ex
dx e
x
C
.
sin xdx
cos x C
.
cos xdx sin x C .
sec2xdx
dx
tan x C
.
cos2 x
csc2
xdx
dx
cot x C
.
sin2 x
secx tan xdx . secx C cscx cot xdx csc x C
.
(x )
x 1（
为实数）； (ex
)
ex ； (ln x)
1
；
x
(cos x)
sin x ；
(secx) secx tan x ；
(csc x)
cscx cot x ；
；
(arccosx) 1 2
1 x
(arccot x)
1 .
1 x
2
0时，
.
0dx C
1 1 x2
dx arcsin x C
arccosx C .
1 2 dx arctan x C
. 1 x
arc cot x C
tan xdx
ln cos x C
.
cot xdx ln sin x C
.
secxdx ln secx tan x C csc xdx ln csc x cot x C
2 1 2 dx a x
. .
1
arctan C a a
x
. .
1 dx 1 ln x a
x2 a2 2a x a
C
1
1
dx
arcsin
ln x
x
a
C (a 0)
C
.
.
a2 x2
dx
x2 a 2
x 2 a 2
a2
xdx a arcsin1 x a2 x2 C
2 a 2
3 1 secxdx 2 secxtanx ln secx tanx C
2
2
x
.
三角函数的有理式积分：
sin x
2u ， cos x 1 u2 1 u， 1 u2
2 u
tan ， dx 2du
1 u2 2
x
一些初等函数：
幂函数 : y x ( 指数函数： y 对数函数： y 三角函数： y 反三角函数： y
为实数 )
a x( a 0, a 1) log a x(a
0, a 1)
sin x, y cos x, y tan x, y arcsin x, y
cot x, y secx, y csc x
arccos x, y arctan x, y arccot x
双曲正弦 : shx
ex e x 2 ex e x 2
x
双曲余弦 : chx
shx e e
x x
）
arshx ln( x x 1 archx ln( x x2 1)
1 1 x
arthx ln
2 1 x
2 两个重要极限： sin x
1 lim
x 0 x
1 x
xe
lim x
1
1 x
x
lim 1 x 0
等价无穷小量替换
当 x 0 时 , x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctanx
~ln( 1 x)~ e
x
1
，
,
1 cosx~
1 x 2 2x~sin 2x~tan 2 x
2
,1 x
1~ x
2
1
三角函数公式： ·诱导公式：
sin
函数 角 A -α 90°-α 90°+α
cos
Tancot
-sin α cos α -tanα -cotα cos α sin α Cot α tanα
cos α -sin α -cotα -tanα
180 °-α sin α -cos α -tanα -cotα 180 °+α -sin α -cos α Tanα cotα
270 °-α -cos α -sin α Cot α tanα 270 °+α -cos α sin α -cotα -tanα 360 °-α -sin α cos α -tanα -cotα 360 °+α sin α cos α Tanα cotα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin( cos( tan(
) sin cos cos sin
sin
sin
2sin
2
cos 2 sin 2
2 cos 2
2 sin 2
2
) cos cos msin sin
tan tan ) 1mtan tan
m
sin
sin
2 cos 2cos
cos
cos
cot(
1 ) cot cot cot cot
cos
cos
2 sin
·倍角公式：
sin 2
2sin cos
2
2
2
2
cos2 cot2
2cos cot2 2cot 2 tan
1 1 2sin 1
cos
sin
sin3
3sin 4sin
3
cos3 tan3
4cos3 3tan
3cos
tan3
2
tan2
1 3tan
1 tan
2
·半角公式：
sin 2 tan
2 1 cos
cos sin
cot
2
1 cos
2 1 cos
2
2
1 cos sin b sin B 1 cos 1 cos
1 cos sin
sin 1 cos 1 cos a sin A
1 cos c sin C
2R
·正弦定理：
·余弦定理： c2
a2 b2 2ab cosC
·反三角函数性质：
arcsin x
arccos x 2
arctan x
arc cot x
k)
2
高阶导数公式——莱布尼兹（
n
Leibniz ）公式：
(uv)( n )
k 0
Cnku ( n k ) v(k )
u( n) v
nu ( n 1) v n(n 1) u (n 2) v
2!
n(n 1) ( n
k!
k 1) u( n
v (k )
uv(n )
中值定理与导数应用：
罗尔中值定理： f ( )
柯西中值定理： f (b)
0
拉格朗日中值定理： f (b) f (a) f ( )(b a)
f (a)
f ( )
F ( )
当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
F (b) F ( a)
曲率：
弧微分公式： ds 平均曲率：K
1 y 2 dx,其中 y tg s .
: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变
化量； s： MM 弧长。
M 点的曲率： K lim
d
y
.
3
s 0
s
ds
(1 y )
2
直线： K 0;
半径为 a的圆： K
1 .
a
定积分的近似计算：
b
a
矩形法： f ( x) b ( y0 y1 a
n b
梯形法： f ( x) b a[ 1
( y0 yn ) a
n 2 b
f ( x) a
抛物线法： b [( y0 yn ) a
3n 定积分应用相关公式：
功： W F s
水压力： F p A
引力： F
k m1m2 ,k为引力系数
r 2
函数的平均值： y
1
b
f (x)dx
b a a
b
均方根： 1
f 2 (t )dt b a a
空间解析几何和向量代数：
yn 1 ) y1
2( y2
yn 1 ]
y4
yn 2 )
4( y1 y3 yn 1 )]
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