2020届高考一轮复习理科数学(人教版)练习：第46讲 基本不等式

第46讲 基本不等式

b4a

1．(2016·合肥市二模)若a，b都是正数，则(1＋)(1＋)的最小值为(C)

ab

A．7 B．8 C．9 D．10

b4ab4ab4a (1＋)(1＋)＝5＋＋≥5＋2×＝9，

ababab当且仅当b＝2a时，取“＝”，故选C.

2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

C.ab

22 设甲地到乙地走的路程为S，则

2S2ab2abv＝＝<＝ab， SSa＋b2ab＋ab

v2b

又因为a1，即v>a.

aa＋b

12

3．(经典真题)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(C)

ab

A.2 B．2 C．22 D．4

12

由＋＝ab知a>0，b>0， ab122

所以ab＝＋≥2 ，即ab≥22，

abab12＝，ab44

当且仅当即a＝2，b＝22时取“＝”，

124＋＝8，ab

?????

所以ab的最小值为22.

4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(B)

A．3 B．4 911C. D. 22

利用基本不等式， x＋2yx＋2y＝8－x·(2y)≥8－()2，

2整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，

即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号．

115．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋b的最小值为____. 841

因为a－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6，所以2a＋b＝2a＋2－3b≥2

8

2

2a－3b＝2

－6

－3

2a·2－3b＝

???a＝－3b，?a＝－3，1

2＝2×2＝，当且仅当?时等号成立，即?时取到等

4

???a－3b＋6＝0?b＝1

号．

6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则

其边长x为 20 m.

设矩形的高为y(m)，面积为S(m2)， x40－y

由三角形相似得＝，即x＋y＝40.

4040x＋y

所以S＝xy≤()2＝400，

2当且仅当x＝y＝20时等号成立．

7．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1.

11

(1)求＋的最小值；

xy

(2)求log2x＋log2y的最大值．

1111y4x

(1)因为＋＝(＋)(4x＋y)＝＋＋5≥2

xyxyxyy4x11

当且仅当＝，即x＝，y＝时，取“＝”．

xy6311

所以＋的最小值为9.

xy

1

(2)log2x＋log2y＝log2(xy)＝log2(·4x·y)

414x＋y21≤log2[()]＝log2＝－4，

4216

11

当且仅当4x＝y，即x＝，y＝时取“＝”．

82所以log2x＋log2y的最大值为－4.

11

8．(2017·四川泸化中学月考)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(D)

aba?a－b?

A．1 B．2 C．3 D．4

(方法1)因为a>b>0， a2＋

a－b＋b1112

＋＝a＋＝a2＋ aba?a－b?ab?a－b?b?a－b?

y4x

·＋5＝9. xy

≥a2＋

4

＝a2＋2≥4，

ab＋a－b

2

??

2

1

当且仅当a＝2b＝2时取“＝”，故选D.

1111

(方法2)a2＋＋＝a(a－b)＋＋＋ab

aba?a－b?a?a－b?ab≥2＋2＝4.

1a?a－b?＝，

a?a－b?

??当且仅当?

1ab＝??ab，

?a＝2，

?即?2

b＝?2?

时取“＝”．

11

所以a2＋＋的最小值为4.

aba?a－b?

9．(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为__9__．

(方法1)如图(1)，

因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，

111所以ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，

22211所以ac＝a＋c.所以＋＝1.

ac

11c4a

所以4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝＋＋5≥2

acacc4a

当且仅当＝，即c＝2a时取等号．

ac

(方法2)如图(2)，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，

c4a·＋5＝9. ac