用杠杆平衡原理快速求线段比值
342300 江西于都第三中学 蔡家禄
杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂??①，合力=两分力之和??②. 如图1，2，3分别是支点不同的平衡的杠杆，由杠杆平衡条件可知： （1）如图1，点C为支点，FA?AC?FB?BC（即
FABC）,FC?FA+FB； ?FBACABFC）,FC?FA+FB； ?ACFBABFC）,FC?FA+FB； ?CBFA（2）如图2，点A为支点，FB?AB?FC?AC（即
（3）如图3，点B为支点，FA?AB?FC?CB（即
从以上结论可以看出，平衡杠杆总共涉及五个量：两个力臂（作用点到支点的距离，可看作线段的长）和三个作用力（FA，FB，FC），这五个量满足两个关系式①和②.在实际应用时，须体会以下几点：
（1）三个作用力FA，FB，FC题目本身并不存在，需要我们根据具体问题假设出来；力臂的长（即线段的长）可以是具体的数值，也可以只是个比值；
（2）已知两个作用力，可求第三个作用力，还可求两力臂之比（即线段之比）.比如在图1中，已知FA、FB，可由FC?FA+FB求出FC的大小，由
FABCBC，可求的值?ACFBAC（注意，我们只能求出BC与AC的比值，而求不出BC与AC的具体长度）；
（3）已知力臂之比（即线段之比），我们可以先假设其中一个作用力是多少，再求另一个作用力的大小，进一步还可求出合力的大小.比如在图1中，已知
BC=3，即相当于告诉AC我们
FA=3,我们假设FA =6，则FB =2，进一步由FC?FA+FB可求出FC=8； FB（4）利用杠杆平衡原理求线段比值问题适用的几何基本图形（模型）为：
下面我将通过具体的例子来说明如何利用杠杆平衡原理快速方便地解决几何图形中同一直线上几条线段之比值的问题.
例1、如图4，在△ABC中，D是BC的中点，∠ACB的平分线交AB于E，交AD于F，若AE:BE=5:7，求AF:DF的值.
解：视AB为杠杆，E为支点，由AE:BE=5:7，我们可设点A的作用力FA=7，则点B作用力FB=5（满足5?7?7?5，点E的作用力FE=5+7=12，这里不用求FE的值）；再视BC为杠杆，D为支点，由BD:CD=1:1，由点B的作用力FB=5，则点C的作用力FC也等于5（满足5?1?5?1），点D的作用力FD=5+5=10.因为点A的作用力FA=7，点D的作用力FD=10，由杠杆AD平衡条件
AFFD可得AF:DF=10:7. ?DFFA 解题思路小结：先确定一个杠杆（选定一个点作支点），根据题目已知的线段比，假设出其中一个点的作用力的大小，可求出另外一个点的作用力的大小，进一步可求出支点的作用力的大小；再确定第二个杠杆，由已知的线段比及一个点的作用力的大小，求出另外一个点和支点的作用力的大小；最后在第三个杠杆上根据两个作用力的大小求出所求两线段的比值.（温馨提示：①两线段的比值就是杠杆两力臂的比值；②三点作用力的大小是根据“题目所给线段比”假设出来的（为了计算的方便，要注意避免分数的出现）；③支点可以是中间的点也可以是两边的点.）
反思：1、视AB为杠杆，B为支点，由AE:BE=5:7，若我们设点A的作用力FA=7，则点E、点B的作用力FE、FB各为多少？（参考答案：E点作用力为12，B点作用力为5） 图4
2、你能求出CF:EF的值吗？（参考答案：
12） 5 例2、如图5，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，P是AD的中点，连接BP并延长交AC于点E，已知AC:AB=k，则AE:EC= .
思路点拨：图中四条线段（BE、BC、AD、AC）可看作杠杆，要使用杠杆解题至少需知道两个杠杆的力臂之比（即线段之比），但题中只直接给出杠杆AD的力臂之比
AP?1，DP条件AC:AB=k并不是某杠杆的两力臂之比，因此要想办法将其转化为“某杠杆的”两力臂之比，由三角形相似的性质可得臂之比
BDAB211?()?()2?2，这样就知道了杠杆BC的力CDACkkBD1?2.已知两个杠杆AD和BC的力臂之比，可以先假设出某一个点的作用力的CDk大小，再由力臂之比求出其它各点的作用力的大小，A、C两点的作用力FA、FC的大小求出来了，再由杠杆AC的平衡条件
AEFC就可求出AE与CE之比了. ?CEFA解：∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高， ∴BA?BD?BC,CA?CD?CB. ∴
22BDAB211?()?()2?2. CDACkk设B点作用力FB=k2，则C点作用力FC=1.
图5
∴D点作用力FD=k2+1. 又∵
AP?1， DP∴点A与点D的作用力大小相等，即FA=FD= k2+1. ∴
例3、如图6，点D、E、F分别在△ABC的各边上，且求
AEFC1. ??2CEFAk?1图6
AE2BDAF3?,?1,?.BE3CDCF2EG的值. FG思路点拨：图中有三条线段（AB、AC、BC）给出了力臂之比，但图中并没有出现适合杠杆平衡原理的基本图形，因此须连接BF或CE构造出基本图，从而利用杠杆平衡原理求解.
解：连接BF交AD于H，抽出图7作基本图（其它无关的要视而不见），视AC、BC为杠杆，由
AF3FA2BD?得?1，∴FB=FC=3. ∴?,所以可设FA=2,则FC=3, ∴FF=5.又∵CF2FC3CDAE2BH5BHFF5?,?,则??.抽出图8，视BF、BA为杠杆，由BE3FH3FHFB3FD=6. ∴FH=8.∴
FA369F51015（这里转化比的目的是为了找到恰当的?===??，F?????，
FB246FB369表示作用力的数值，以避免出现分数给运算带来麻烦）∴可设FB=6,则FA=9, FF=10,∴FE=FA+FB=15. ∴
EGFF102???. FGFE153图7 图8
点评：此题用了两个解题技巧：①通过辅助线构造出基本图形，因为只有符合基本图形特征的图形才可以使用杠杆平衡原理；②从复杂图形中抽出基本图（图7、图8），排除其它无关线段的干扰，这是解几何题常用的策略. 读后测评练习：
1、如图9，AD是△ABC的中线，E是AB上的一点，连接CE交AD于点F，若AF:DF=4:3，
AEEF?的值为（ ） BECF35167A. B. C. D.
24155则
:,2、如图10，过点A的两条直线将△ABC的中线CD分成三条线段的比为CE:EF:FD?4:31则这两条直线分BC所成三条线段的比为CG:GH:HB? .
（变式：如图10，在△ABC中，G、H是BC边上的三等分点，D是AB的中点，连接CD分别交AG、AH于点E、F.则CE:EF:FD? .）
图9
图10
（参考答案：1、C； 2、3:4:2；变式答案：5:3:2） 参考文献
[1] 俞小敏.杠杆平衡原理在求几何线段比中的应用《中学数学杂志》 2009.6 [2] 李有贵.杠杆平衡原理在求比值中的应用《中学数学》2010.4
用杠杆原理快速求线段比值
