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课时跟踪检测（十）
1．(2018届高三·西安八校联考)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，
AC ⊥BM，且BM交AC于点M，EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE＝3，AC＝4，CF＝1.
(1)证明：BF⊥EM； (2)求三棱锥B-EFM的体积．
解：(1)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥BM， 又BM⊥AC，AC∩EA＝A，∴BM⊥平面ACFE， ∴BM⊥EM.
①
∵CF∥AE，∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AC， ∴FM＝MC＋FC＝2，
又EM＝AE＋AM＝32，EF＝4＋2＝25， ∴FM＋EM＝EF，∴EM⊥FM.
2
2
22
2
2
2
2
2
②
由①②并结合FM∩BM＝M，得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF. (2)由(1)知EM⊥平面BMF，
11?1?∴VB-EFM＝VE-BMF＝×S△BMF×EM＝×?×2×3?×32＝3. 33?2?2．(2017·宝鸡质检)如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，2.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求三棱锥P-MAC的体积．
解：(1)证明：由∠PCB＝90° 得PC⊥CB. 又AB⊥PC，AB∩CB＝B，所以PC⊥平面ABC. 又PC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)在平面PCBM内，过点M作MN⊥BC交BC于点N，连接
＝
AM＝
AN，则
CN＝PM＝1，
又PM∥BC，所以四边形PMNC为平行四边形，所以PC∥MN且PC＝
MN，
由(1)得PC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC，
在△ACN中，AN＝AC＋CN－2AC·CNcos 120°＝3，即AN＝3.
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2
2
2
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又AM＝2，所以在Rt△AMN中，MN＝1，所以PC＝MN＝1.
在平面ABC内，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，则AH⊥平面PMC， 因为AC＝CN＝1，∠ACB＝120°，所以∠ANC＝30°. 13
所以在Rt△AHN中，AH＝AN＝，
2211
而S△PMC＝×1×1＝，
22
11133
所以VP-MAC＝VA-PMC＝×S△PMC×AH＝××＝.
332212
3．(2017·云南检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，
底面
ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a，AC＝23a，E是PA的中点．
(1)求证：平面BED⊥平面PAC； (2)求点E到平面PBC的距离．
解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC. ∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PC⊥BD.
又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC， ∵BD?平面BED， ∴平面BED⊥平面PAC.
(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图．
在△PCA中，易知O为AC的中点，又E为PA的中点， ∴EO∥PC.
∵PC?平面PBC，EO?平面PBC，∴EO∥平面PBC. ∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离． ∵PC⊥平面ABCD，PC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ABCD，且两平面的交线为BC. 在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H， 则OH⊥平面PBC.
1
在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝AC＝3a，
211
∴OB ＝a.由S△BOC＝OC·OB＝BC·OH，
22得OH＝
OB·OCa·3a3＝＝a. BC2a2
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3a. 2
中，＝4，
∴点E到平面PBC的距离为
4．(2017·郑州模拟)如图，已知四棱锥S -ABCD，底面梯形ABCDAD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC＝2ABBC＝2AD＝2CD＝25，M是SD上任意一点，SM＝mMD，且m>0.
(1)求证：平面SAB⊥平面MAC；
(2)试确定m的值，使三棱锥S -ABC的体积为三棱锥S-MAC体积的3倍．
―→
―→
解：(1)证明：在△ABC中，由于AB＝2，AC＝4，BC＝25，∴AB＋AC＝BC，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC?平面
222
MAC，故平面SAB⊥平面MAC.
(2)VS -MAC＝VM -SAC＝∴
mm＋1
VD -SAC＝
VS -ACD，
m＋1
mVS -ABCm＋1VS -ABCm＋1S△ABCm＋1
＝·＝·＝·2＝3， VS -MACmVS -ACDmS△ACDm∴m＝2，即当m＝2时，三棱锥S -ABC的体积为三棱锥S -MAC体积的3倍． 5．(2017·石家庄质检)如图，在三棱柱ABC-DEF中，侧面ABEDπ21是边长为2的菱形，且∠ABE＝，BC＝.点F在平面ABED内的正
32投影为G，且点G
1
在AE上，FG＝3，点M在线段CF上，且CM＝CF.
4(1)证明：直线GM∥平面DEF； (2)求三棱锥M-DEF的体积．
解：(1)证明：∵点F在平面ABED内的正投影为G，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE，又BC＝
21
2
3π1
＝EF，FG＝3，∴GE＝.∵四边形ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，∴AE ＝2，∴AG＝.
232
如图，过点G作GH∥AD交DE于点H，连接FH.则＝，∴GH13
由CM＝CF得MF＝＝GH.
42
∵GH∥AD∥MF，∴四边形GHFM为平行四边形， ∴GM∥FH.
又GM?平面DEF，FH?平面DEF，∴GM∥平面DEF.
113(2)由(1)知GM∥平面DEF，连接GD，则有VM -DEF＝VG -DEF.又VG -DEF＝VF -DEG＝FG·S△DEG＝FG·S334
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GHGEADAE3＝，2
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33＝，∴VM -DEF＝. 44
△DAE- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
通用版2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测十文
