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课时跟踪检测(十)
1.(2018届高三·西安八校联考)如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,
AC ⊥BM,且BM交AC于点M,EA⊥平面ABC,CF∥AE,AE=3,AC=4,CF=1.
(1)证明:BF⊥EM; (2)求三棱锥B-EFM的体积.
解:(1)证明:∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥BM, 又BM⊥AC,AC∩EA=A,∴BM⊥平面ACFE, ∴BM⊥EM.
①
∵CF∥AE,∴CF⊥平面ABC,∴CF⊥AC, ∴FM=MC+FC=2,
又EM=AE+AM=32,EF=4+2=25, ∴FM+EM=EF,∴EM⊥FM.
2
2
22
2
2
2
2
2
②
由①②并结合FM∩BM=M,得EM⊥平面BMF,∴EM⊥BF. (2)由(1)知EM⊥平面BMF,
11?1?∴VB-EFM=VE-BMF=×S△BMF×EM=×?×2×3?×32=3. 33?2?2.(2017·宝鸡质检)如图,四边形PCBM是直角梯形,∠PCB90°,PM∥BC,PM=1,BC=2,又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,2.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC; (2)求三棱锥P-MAC的体积.
解:(1)证明:由∠PCB=90° 得PC⊥CB. 又AB⊥PC,AB∩CB=B,所以PC⊥平面ABC. 又PC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)在平面PCBM内,过点M作MN⊥BC交BC于点N,连接
=
AM=
AN,则
CN=PM=1,
又PM∥BC,所以四边形PMNC为平行四边形,所以PC∥MN且PC=
MN,
由(1)得PC⊥平面ABC,所以MN⊥平面ABC,
在△ACN中,AN=AC+CN-2AC·CNcos 120°=3,即AN=3.
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2
2
2
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又AM=2,所以在Rt△AMN中,MN=1,所以PC=MN=1.
在平面ABC内,过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H,则AH⊥平面PMC, 因为AC=CN=1,∠ACB=120°,所以∠ANC=30°. 13
所以在Rt△AHN中,AH=AN=,
2211
而S△PMC=×1×1=,
22
11133
所以VP-MAC=VA-PMC=×S△PMC×AH=××=.
332212
3.(2017·云南检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,
底面
ABCD是平行四边形,AB=BC=2a,AC=23a,E是PA的中点.
(1)求证:平面BED⊥平面PAC; (2)求点E到平面PBC的距离.
解:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC. ∵PC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴PC⊥BD.
又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC, ∵BD?平面BED, ∴平面BED⊥平面PAC.
(2)设AC交BD于点O,连接OE,如图.
在△PCA中,易知O为AC的中点,又E为PA的中点, ∴EO∥PC.
∵PC?平面PBC,EO?平面PBC,∴EO∥平面PBC. ∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离. ∵PC⊥平面ABCD,PC?平面PBC,
∴平面PBC⊥平面ABCD,且两平面的交线为BC. 在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H, 则OH⊥平面PBC.
1
在Rt△BOC中,BC=2a,OC=AC=3a,
211
∴OB =a.由S△BOC=OC·OB=BC·OH,
22得OH=
OB·OCa·3a3==a. BC2a2
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3a. 2
中,=4,
∴点E到平面PBC的距离为
4.(2017·郑州模拟)如图,已知四棱锥S -ABCD,底面梯形ABCDAD∥BC,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2ABBC=2AD=2CD=25,M是SD上任意一点,SM=mMD,且m>0.
(1)求证:平面SAB⊥平面MAC;
(2)试确定m的值,使三棱锥S -ABC的体积为三棱锥S-MAC体积的3倍.
―→
―→
解:(1)证明:在△ABC中,由于AB=2,AC=4,BC=25,∴AB+AC=BC,故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,AC?平面ABCD,∴AC⊥平面SAB,又AC?平面
222
MAC,故平面SAB⊥平面MAC.
(2)VS -MAC=VM -SAC=∴
mm+1
VD -SAC=
VS -ACD,
m+1
mVS -ABCm+1VS -ABCm+1S△ABCm+1
=·=·=·2=3, VS -MACmVS -ACDmS△ACDm∴m=2,即当m=2时,三棱锥S -ABC的体积为三棱锥S -MAC体积的3倍. 5.(2017·石家庄质检)如图,在三棱柱ABC-DEF中,侧面ABEDπ21是边长为2的菱形,且∠ABE=,BC=.点F在平面ABED内的正
32投影为G,且点G
1
在AE上,FG=3,点M在线段CF上,且CM=CF.
4(1)证明:直线GM∥平面DEF; (2)求三棱锥M-DEF的体积.
解:(1)证明:∵点F在平面ABED内的正投影为G,∴FG⊥平面ABED,∴FG⊥GE,又BC=
21
2
3π1
=EF,FG=3,∴GE=.∵四边形ABED是边长为2的菱形,且∠ABE=,∴AE =2,∴AG=.
232
如图,过点G作GH∥AD交DE于点H,连接FH.则=,∴GH13
由CM=CF得MF==GH.
42
∵GH∥AD∥MF,∴四边形GHFM为平行四边形, ∴GM∥FH.
又GM?平面DEF,FH?平面DEF,∴GM∥平面DEF.
113(2)由(1)知GM∥平面DEF,连接GD,则有VM -DEF=VG -DEF.又VG -DEF=VF -DEG=FG·S△DEG=FG·S334
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GHGEADAE3=,2
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33=,∴VM -DEF=. 44
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通用版2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测十文
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