,.
普通物理的数学基础
选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步
物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。
§1．函数及其图形
1．1函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量
1．2函数的图象
1．3物理学中函数的实例
,.
§2．导数
2．1极限
如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f（x）的极限值，并记作
（A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A．17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”。
极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。
考虑下面这个函数：
这里除x＝1外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当
但是若问x＝1时函数值f（1）＝？我们就会发现，这时（A．18）式的
,.
说是没有意义的。所以表达式（A．18）没有直接给出f（1），但给出了x无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f（x）值的变化情况：
表A-1 x与f（x）的变化值
x
3x2-x-2
x-1
4.7
0.9
0.99
-0.47
0.999 0.9999
1.1
7
-0.0497
-0.1
-0.004997 -0.0004990.53
1
-0.01
-0.001 -0.0000.1
4.97
4.997
4.9997 5.3
1.01
1.001 1.0001
3
0.503
0.005003 0.0005000
0.01
0.001
5.03
0.0001
5.003
5.0003
从上表可以看出，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值——5，这便是x→1时f（x）的极限值。
其实计算f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A．18）式的分子作因式分解：
3x2-x-2＝（3x＋2）（x-1），
并在x≠1的情况下从分子和分母中将因式（x－1）消去：
,.
即可看出，x趋于1时函数f（x）的数值趋于3×1＋2＝5。所以根据函数极限的定义， 求极限公式
（2）（3）（4）
等价无穷小量代换
sinx～x; tan～x; arctanx～x; arcsinx～x;
2．2极限的物理意义
（1）瞬时速度
,.
对于匀变速直线运动来说，
这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A．5）。 （2）瞬时加速度
时的极限，这就是物体在t＝t0时刻的瞬时加速度a：
（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A-5），于是各处渠底的高度h便是x的函数：
h=h（x）．
知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。
高级中学物理竞赛的数学基础学习知识（自用）
