5.4 状态观测器
从前面几节看出，要实现闭环极点的任意配置，离不开状态反馈，然而系统的状态变量并不都是易于直接能检测得到的，有些状态变量甚至根本无法检测。这样，就提出所谓状态观测或者状态重构问题。由龙伯格（Luenberger）提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制律。至于在噪声环境下的状态观测将涉及随机最优估计理论。本节只介绍在无噪声干扰下，单输入—单输出系统状态观测器的设计原理和方法。
5.4.1 状态观测器定义与存在性
（1）状态观测器定义 设线性定常系统
???A,B,C?0^的状态矢量x不能直接检测。如果动态系统?以
^?0的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量x近似于x，即
lim?x?x??0，则称?为?0的一个状态观测器。
?t???根据上述定义，可得构成观测器的原则是： ① 观测器?应以
t??^?0的输入u和输出y为输入量。
② 为满足lim?x?x??0，
???0必须完全能观，或其不能观子系统是渐近稳定的。
^③ ?的输出x应以足够快的速度渐进于x，即?应有足够宽的频带。但从抑制干扰角
度看，又希望不要太宽。因此，要根据具体情况予以兼顾。
④ ?在结构上应尽量简单。即具有尽可能低的维数，以利于物理实现。 （2）状态观测器的存在性 定理八 对线性定常系统能观子系统为渐近稳定。 证明 ① 设
^^???A,B,C?0，状态观测器存在的充要条件是
?0的不
???A,B,C?0不完全能观，可进行能观性结构分解。不妨设
???A,B,C?0已具有能观性分解形式。即
?x0??A110??B1? x???,A???,B??B?,C??C10? （5.48） xAA?2122??2??0?式中
x0——能观子状态；
x0——不能观子状态； (A11,B1,C1)——能观子系统； (A22,B2,0)——不能观子系统。 ② 构造状态观测器?。设x??x0^?Tx0?为状态x的估计值，G??G1G2?为调节x?T渐近于x的速度的反馈增益矩阵。于是得观测器方程
?x?Ax?Bu?G(y?Cu) （5.49）
?或 x?(A?GC)x?Bu?GCx 定义x?x?x为状态误差矢量，可导出状态误差方程
???????x?x0?0? x?x?x??????x?x?0??0?A11x0?B1u????(A11?G1C1)x0?B1u?G1C1x0?????? ????? ???(A21?G2C1)x0?A22x0?B2u?G2C1x0????A21x0?A22x0?B2u???????(A11?G1C1)(x0?x0)?? （5.50） ????(A21?G2C1)(x0?x0)?A22(x0?x0)??③ 确定使x渐近x的条件。
由上式，得
x0?x0?(A11?G1C1)(x0?x0) （5.51） x0?x?(A21?G2C1)(x0?x0)?A22(x0?x0) （5.52）
0????由式（5.51）可知，通过适当选择G1，可使(A11?G1C1)的特征值均具负实部，因而有
lim(x0?x0)?limet??t??(A11?G1C1)t?x0(0)?x0(0)??0 （5.53）
??同理，由式（5.52）可得其解为
A22(t??)(A11?G1C1)???x0(0)?x0(0)?dtx0?x0?eA22t?x(0)?x(0)?e(A?GC)e21110?0??0??t
（5.54）
由于limet??(A11?G1C1)t?0，因此仅当
A22tt?? lime?0 （5.55）
成立时，才对任意x0(0)和x0(0)，有
lim(x0?x0)?0 （5.56）
t??而limet??A22t?0与A22特征值均具有负实部等价。只有?0??A,B,C?的不能观子系统渐近
t??稳定时，才能使lim(x0?x0)?0。定理得证。
5.4.2 全维观测器
定理九 若线性定常系统
???A,B,C?0完全能观，则其状态矢量x可由输出y和输
入u进行重构。
证明 将输出方程对t逐次求导，代以状态方程并整理可得
y?Cxy?CBu?CAx
?y?CBu?CABu?CA2xy(n?1)?CBu(n?2)?CABu(n?3)??CAn?2Bu?CAn?1x???（5.57）
将各式等号左边用矢量Z表示，则有
y?z1????z???y?CBuZ??2????????(n?1)(n?2)(n?3)?zn??y?CBu?CABu??若系统完全能观，rankQ0?n则有
??C??????CA?（5.58） x?Q0x ??????n?1?n?2?CA??CABu???1 x?Q0Z （5.59）
根据式（5.58）可以构造一个新系统Z，它以原系统的y、u为其输入，它的输出Z经
Q0?1变换后便得到状态矢量X0。换句话说，只要系统完全能观，那么状态矢量x便可由系
统的输入u、输出y及其各阶导数估计出来，状态估计值记为x0观测器的结构如图5.6所示。系统Z中包含0阶到n-1阶微分器，这些微分器将大大加剧测量噪声对于状态估计的影响。因此这构造的观测器是没有工程价值的。
图5.6 利用u和y重构状态x
为了避免微分器，一个直观的想法是仿照系统的系统来观测状态x，如图5.7所示。
???A,B,C?0的结构，设计一个相同
图5.7 开环观测器结构图
容易证明，这种状态观测器只有当观测器的初态与系统初态完全相同时，观测器的输出才严格等于系统的实际状态x。否则，二者相差可能很大。但是要严格保持系统初态与观测器初态完全一致，实际上是不可能的。此外，干扰和系统参数变化的不一致性也将加大它们之间的差别，所以开环观测器是没有实用意义的。
如果利用输出信息对状态误差进行校正，便可构成渐近状态观测器，其原理结构如图5.8所示。它和开环观测器的差别在于增加了反馈校正通道。当观测器的状态与系统实际状态x不相等时，反映到他们的输出y与y也不相等，于是产生一误差信号 y?y?y?Cx，经反馈矩阵Gm?n馈送到观测器中每个积分器的输入端，参与调整观测器的状态x，使其以一定的精度和速度趋近于系统的真实状态x。渐近状态观测器因此得名。
^
（a） （b）
图5.8 渐近观测器结构图
根据图5.8可得状态观测器方程
?x?Ax?Bu?G(y?y)?Ax?Bu?Gy?GCx
?^即 x?(A?GC)x?Gy?Bu （5.60） 式中 x——状态观测器的状态矢量，是状态x的估计值；
y——状态观测器的输出矢量；
G——状态观测器的输出误差反馈矩阵。
根据式（5.60），可将状态观测器表示成图5.8b。从图中看出，它有两个输入，一个是待观测系统的控制作用u，一个是待观测系统的输出y。它的一个输出就是状态估值x。
反馈矩阵G的设计
为了讨论状态估值x趋近于状态真值x的渐近速度，引入状态误差矢量
x?x?x （5.61）
可得状态误差方程
?x?x?x?Ax?Bu?(A?GC)x?Cy?Bu
?Ax?(A?GC)x?GCx?(A?GC)(x?x) （5.62）
???即 x?(A?GC)x （5.63） 式（5.63）是一个关于x的齐次微分方程，其解为
(A?GC)tx(0) x?et?0 （5.64）
由式（5.62）可以看出，若x(0)?0，则在t?0的所有时间内，x?0，即状态估值x与状态真值x相等。若x(0)?0，二者初值不相等，但(A?GC)的特征值均具有负实部，则x将渐近衰减至零，观测器的状态x将渐近地逼近实际状态x。状态逼近的速度将取决于
G的选择和(A?GC)特征值的配置。应当指出，当系统?A,B,C?不完全能观，但其不能
观子系统是渐近稳定的，则仍可构造状态观测器。但这时，x趋近于x的速度将不能由G任
状态观测器
