考点12：旋转圆法--带电粒子在磁场中运动的临界问题
当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”. 另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观，如图. ①适用条件
a.速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场
mv0 2mv0中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度为v0，由qv0B＝得圆周运动半径为R＝.
RqBb.轨迹圆圆心共圆
mv0
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R＝的圆(这个圆在下面的叙述中
qB称为“轨迹圆心圆”)上. ②界定方法
mv0
将半径为R＝的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”移动，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆法”.
qB
1.如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量2qBd
均为q的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v＝，不计粒子的重力，则粒子能从
3mPQ边界射出的区域长度为( ) 2
A．d B.d
3233C.d D.d
32答案 C
mv2
解析 粒子在磁场中运动的半径R＝＝d，粒子从PQ边射出的两个边界粒子的轨迹
qB3如图所示：由几何关系可知，从PQ边射出粒子的区域长度为s＝2d，C项正确．
2.如图所示，在边长ab＝1.5L、bc＝3L的矩形区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O处有一粒子源，可以垂直磁场向区域内各个方向发射速度大小相等的同种带电粒子.若沿Od方向射入的粒子从磁场边界cd离开磁场，该粒子在磁场中运动的时间为t0，圆周运动半径为L，不计粒子的重力和粒子间的相互作用.下列说法正确的是( ) A.粒子带负电
1
?2d?2－?1d?2＝23
?3??3?3
B.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 π
C.粒子的比荷为
Bt0
D.粒子在磁场中运动的最长时间为2t0 2.D
[由题设条件作出以O1为圆心的轨迹圆弧，如图所示，由左手定则可知该粒子带正电，选项A错误；由图3L23π
中几何关系可得sin θ＝＝，解得θ＝，可得T＝6t0，选项B错误；根据洛伦
L232πmm3t0B
兹力公式和牛顿第二定律可得T＝，解得＝，选项C错误；根据周期公式，
qBqπmα
粒子在磁场中运动时间t＝，在同一圆中，半径一定时，弦越长，其对应的圆心角
qBα越大，则粒子在磁场中运动时间最长时的轨迹是以O2为圆心的圆弧，如图所示，2π
由图中几何关系可知α＝，解得t＝2t0，选项D正确.]
3
3.如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量2qBd
均为q的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v＝，不计粒子的重力，则粒子能从
3mPQ边界射出的区域长度为( ) 2
A．d B.d
3233C.d D.d
32答案 C
mv2
解析 粒子在磁场中运动的半径R＝＝d，粒子从PQ边射出的两个边界粒子的轨迹如图
qB3所示：由几何关系可知，从PQ边射出粒子的区域长度为s＝2正确．
4.如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.
在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，3a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a 4πaB．粒子的发射速度大小为 t0
4π
C．带电粒子的比荷为
3Bt0
2
?2d?2－?1d?2＝23d，C项?3??3?3
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0 答案 D
解析 根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示， 圆心为O′，根据几何关系，可知粒子做圆周运动的半径为r＝2a，故A错误；沿y轴2π
×2a32π4πa
正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为 ，运动时间t0＝，解得：v0＝，3v03t02π
选项B错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为，对应运动时间为t0，
32π?2q2π
所以粒子运动的周期为T＝3t0，由Bqv0＝m?r，则＝，故C错误；在磁场中运?T?m3Bt0动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示，
4π由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，在磁场中的运动时间为2t0，故D正确．
3
5．如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为( ) πA. kB答案 C
mv2kBr
解析 粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆
qBBkTπmπ
心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，故选C正确。
63qB3kB
6．如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域，不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场mv
中可能经过的区域，其中R＝，正确的图是( )
qB
π B. 2kB
π C. 3kB
π D. 4kB
3
考点12：旋转圆法--带电粒子在磁场中运动的临界问题
