1．(本小题满分12分)(2019山东威海二模)已知{an}是递增的等比数列，a5＝48，4a2，3a3，2a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的前n项和Sn. 1．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， ∵4a2，3a3，2a4成等差数列，
∴6a3＝4a2＋2a4，即6a1q2＝4a1q＋2a1q3， ∴q2－3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1(舍去)．
－
又a5＝a1q4＝16a1＝48，∴a1＝3，∴an＝3·2n1. (2)由条件及(1)可得b1＝a2＝3×2＝6.
∵bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1－bn＝an，∴bn－bn－1＝an－1(n≥2)， ∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
－
3－3·2n1
＝an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋6＝＋6
1－2
－
＝3·2n1＋3(n≥2)．
－
又b1＝6满足上式，∴bn＝3·2n1＋3(n∈N*)，
3－3·2n
n－12
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝3(1＋2＋2＋…＋2)＋3n＝＋3n＝3·2n＋3(n－1)．
1－2
2．(本小题满分12分)(2019安徽芜湖5月模拟)如图，已知圆柱OO1，底面半径为1，高为2，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其路径最短时在侧面留下的曲线记为Γ，将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ(0<θ<π)角到A1B1C1D1位置，边B1C1与曲线Γ相交于点P.
π
(1)当θ＝时，求证：直线D1B1⊥平面APB.
2π
(2)当θ＝时，求二面角D－AB－P的余弦值．
6
2．(1)证明：(方法一)当θ＝
π
时，建立如图所示的空间直角坐标系， 2
则有A(0，－1，0)，B(0，1，0)，P(－1，0，1)，C1(－1，0，2)，
→→
B1(－1，0，0)，D1(1，0，2)，∴AB＝(0，2，0)，AP＝(－1，1，1)．
??2y＝0，
设平面ABP的法向量为n＝(x，y，z)，则?
?－x＋y＋z＝0，?
→→
可取x＝1，得n＝(1，0，1)，D1B1＝(－2，0，－2)，D1B1∥n. ∴直线D1B1⊥平面APB.
(方法二)在正方形A1B1C1D1中，OP∥A1C1，D1B1⊥A1C1，∴OP⊥B1D1，
AB⊥OO1，
??
AB⊥A1B1，??AB⊥平面A1B1C1D1. OO1∩A1B1＝O??
又B1D1?平面A1B1C1D1，∴AB⊥B1D1.
又OP⊥B1D1，AB∩OP＝O，AB?平面PAB，OP?平面APB， ∴直线D1B1⊥平面APB.
π
(2)解：当θ＝时，以AB所在直线为y轴，过点O与AB垂直的直线为x轴，OO1所
6
在的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，
131131→→
可得P(－，，)，∴AP＝(－，＋1，)，AB＝(0，2，0)．
223223
设平面ABP的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 ?2y1＝0，
??1可取x1＝2，得m＝(2，0，3)． 31－x＋y（＋1）＋z＝0.111?23?2
又平面ABD的一个法向量为n＝(1，0，0)，则|cos〈m，n〉|＝213∴二面角D－AB－P的余弦值为.
13
213
， 13
2
3.(本小题满分12分)(2019浙江余姚中学模拟)如图，直线y＝2x－2与抛物线x＝2py(p>0)交于M1，M2两点，直线y＝与y轴交于点F，且直线y＝恰好平分∠M1FM2.
22
pp(1)求p的值；
(2)设A是直线y＝上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y＝于点22
→→
B，求OA·OB的值．
??y＝2x－2，
3．解：(1)由?2消去y，整理得x2－4px＋4p＝0.
?x＝2py，?
?x1＋x2＝4p，
pp?
设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，则?x1x2＝4p，
??Δ＝16p2－16p＞0.
p
∵直线y＝平分∠M1FM2，∴kM1F＋kM2F＝0，
2ppppy1－y2－2x1－2－2x2－2－
2222∴＋＝0，即＋＝0，
x1x2x1x2
px1＋x2
∴4－(2＋)·＝0，∴p＝4，满足Δ＞0，∴p＝4.
2x1x2
??x1＋x2＝16，2
(2)由(1)知抛物线方程为x＝8y，且?
?x1x2＝16，?
22x1x2
M1(x1，)，M2(x2，)．
88
2x3
设M3(x3，)，A(t，2)，B(a，2)，由A，M2，M3三点共线得kM2M3＝kAM2，
82x2
－2
x2＋x3822∴＝，即x2＋x2x3－t(x2＋x3)＝x2－16，
8x2－t
整理得x2x3－t(x2＋x3)＝－16.①
由B，M3，M1三点共线，可得x1x3－a(x1＋x3)＝－16.② ②式两边同乘x2，得x1x2x3－a(x1x2＋x2x3)＝－16x2， 即16x3－a(16＋x2x3)＝－16x2.③
由①得x2·x3＝t(x2＋x3)－16，代入③得16x3－16a－ta(x2＋x3)＋16a＝－16x2， 即16(x2＋x3)＝at(x2＋x3)．∵x2＋x3≠0，∴at＝16. →→
∴OA·OB＝at＋4＝16＋4＝20.
x2
4．(本小题满分12分)(2019江西名校内部特供)函数f(x)＝ae－x－(2a＋b)x. (1)若a＝2，f(x)在R上递增，求b的最大值；
(2)若b＝－2ln 2，存在x0∈(0，ln 2)，使得对任意x∈(0，ln 2)，都有f(x)≤f(x0)恒成立，求a的取值范围．
4．解：(1)当a＝2时，f(x)＝2ex－x2－(4＋b)x. ∵f(x)在R上递增，
∴f′(x)＝2ex－2x－(4＋b)≥0，x∈R恒成立． ∵f″(x)＝2ex－2，
∴当x∈(－∞，0)时，f″(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f″(x)＞0， ∴f′(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x＝0时，f′(x)取得极小值，也是最小值， ∴f′(0)＝－2－b≥0，即b≤－2， ∴b的最大值为－2. (2)当b＝－2ln 2时， 依题意f(x)＝a·ex－x2－(2a－2ln 2)x在(0，ln 2)上有最大值， ∵f′(x)＝a·ex－2x－(2a－2ln 2)，且f′(0)＝－a＋2ln 2，f′(ln 2)＝0.
2020届二轮(理科数学) 压轴大题高分练二 专题卷(全国通用)
