排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因 而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还 应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一． 直接法
1．特殊元素法
例 1用 1，2，3，4，5，6这 6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位 数各有多少个
（1）数字 1 不排在个位和千位
（2）数字 1不在个位，数字 6 不在千位。
分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择 A5 ，其余 2 位有四个可供选择 A4 ，由乘法 原理：
2
2
A A =240
25
24
2．特殊位置法
（2）当 1在千位时余下三位有 A5 =60，1 不在千位时，千位有 A4种选法，个位有 A4种， 余下
3
1
1
的有 A4 ，共有 A4 A4 A4=192所以总共有 192+60=252
2
1
1
2
二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（ 2）可用间接法
A6 2A5 A4 =252
4
3
2
例2 有五张卡片，它的正反面分别写 0与 1，2与3，4与 5，6与 7，8与 9，将它们 任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑 0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0与使用 1，类 别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数
2
2
2
C5 2 A3
3
3
3
35
3
33
24
个，其中 0 在百位的有 C4 2 A2个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 C 2 A - C2 A =432（个）
2
22
三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中， 临时插入两个歌唱节目， 且保持原节目顺序， 有多少
中插入方法？
分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有 A9 A10 =100中插入方法。
1
1
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有 A4种排法，又乘法原理满足条件的排法有： A4× A4 =576
4
4
4
A4 种排法，而男生之间又有
4
练习 1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法 有 种（ C A）
24
33
2． 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观， 但每天只能安排一所学校， 其中 有一所
学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排 方法有（ C29
1
A28 ）（注意连续参观 2 天，即需把 30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整 体来选有 C29其余的
19
1
就是 19所学校选 28 天进行排列） 五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少 一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有 C11种
7
练习 1.（a+b+c+d） 有多少项？
15
当项中只有一个字母时，有 C4种（即 a.b.c.d 而指数只有 15 故C4 C14。
1
1
0
当项中有 2 个字母时，有 C4而指数和为 15，即将 15 分配给 2 个字母时，如何分，闸板 法一分
2
为 2， C即C C
114
24
114
当项中有 3 个字母时 C4指数 15 分给 3 个字母分三组即可 C4C14
3
3
2
当项种 4 个字母都在时 C4 C14 四者都相加即可．
4
3
练习 2．有 20个不加区别的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子里，要求每个盒子内的 球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（ C16 ）
2
3．不定方程 X1+X2+X3+?+X50=100 中不同的整数解有（ C99 ）
49
六． 平均分堆问题 例 6 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（ a1,a 2）,（a 3,a4），（a5,a6）由顺序不同可以有 A3 =6种，而这 6种分法
3
只算一种分堆方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有
CCC =15种
26
24
22
2 2
练习： 1．6本书分三份， 2份1本，1份 4本，则有不同分法？
2．某年级 6 个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法 的种数。
七． 合并单元格解决染色问题
例 7 （全国卷（文、理））如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相 邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字 作答）。 分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5． 下面分情况讨论 :
（ ⅰ）当 2、4颜色相同且 3、5颜色不同时，将 2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方
法相当于 4 个元素
①③⑤的全排列数
2,4
4A4
（ⅱ）当 2、4颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形 （ ⅰ）类似同理可得 种着色法．
4A4
（ⅲ）当 2、4与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
2,4 3,5
①
从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有
由加法原理知：不同着色方法共有 2
433A4 C4 A3
33C4 A3
种方法．
4 3 3
=48+24=72（种）
练习 1（天津卷（文））将 3 种作物种植
1 2 3 4 5 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （ 72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（理） ）某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3），现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的 栽种方
法有
种（以数字作答）．（ 120）
图3 图4
3．如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE五部分着色，相邻部
分不能用同一颜色，但同 一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数． （ 540）
4．如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿 同种颜色
的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与
A
否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）
图5 图6
5．将一四棱锥 （ 图 6） 的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的
两端点异色，若只有五种颜 色可供使用，则不同的染色方法共 种（ 420） 八． 递推法
例八 一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这 10 级楼梯，共有多少 种不同的走法？
分析：设上 n 级楼梯的走法为 an种，易知 a1=1,a 2=2,当 n≥2 时，上 n 级楼梯的走法可分 两类：第一类： 是最后一步跨一级，有 an-1 种走法， 第二类是最后一步跨两级，有 an-2 种走法， 由 加 法 原 理 知 ：
an=an-1+ an-2, 据 此 ，
a3=a1+a2=3,a 4=a#+a2=5,a 5=a4+a3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34, a9=55,a 10=89.故走上 10级楼梯共有 89 种
不同的方法。 九. 几何问题
1 ．四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点，使它们和点 A在同一平面上， 不同的取
法有 种（ 3 C5+3=33）
3
2.四面体的棱中点和顶点共 10个点（ 1）从中任取 3 个点确定一个平面，共能确定多少个平
面？
（ C10 -4 C6+4-3 C +3-6C +6+2×6=29）
3
3
34
34
（2） 以这 10 个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C10-4C6-6C4-3C4=141 四棱锥 6
4
4
4
4
×4×4=96 3 ×6=18 共有 114 十．先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需 1人承担，从10人中选派 4人承担这三项 任务，不同的选派方法有（ ）
A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5054 种
分析：先从 10 人中选出 2 人 十一．用转换法解排列组合问题
例 10．某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结 果，不同的结果有多少种．
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问 题． A5 =20 种
2
例11．个人参加秋游带 10瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟不同的带法．
解 把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10个相同的黑球之间的 9 个空隙 种的排列问题． C9=126 种
5
例 12 从 1 ，2 ，3，?， 1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数， 有多少种不同的去法． 解 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。 C991 例13 某城市
10
街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北 角，路程最短的走法有多少种．
解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑 球的排列问题． C7=35（种）
3
例14 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多 少种不同
的走法．
解 根据题意要想 12步登完只能 6个一步登一个台阶， 6 个一步登两个台阶，因此，把问 题转化为 6 个相同的黑球与 6个相同的白球的排列问题． C12 =924（种）．
6
例15 求（a+b+c） 的展开式的项数．
10
解 展开使的项为 abc,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相
α
β
γ
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