全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式
1．三角函数的积化和差公式
1[sin(α+β)+sin(α-β)], 21cosα?sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
21cosα?cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],
21sinα?sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].
2sinα?cosβ=2．球的体积公式 V球=
43
πR（R为球的半径）。 32
一、选择题（每小题5分,共60分）
1．设在xOy平面上,0 2 1。则集合 3121 B． C．1 D． 3362．在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与直线CD的距离为2,夹角为ABCD的体积等于 A． ?。则四面体33311 B． C． D． 23323．有10个不同的球,其中,2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分,取到一个白球得2分,取到一个黄球得1分,那么,从中取出5个球,使得总分大于10分且小于15分的取法种数为 A．90 B．100 C．110 D．120 4．在ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC,则 A．ΔABC是等腰三角形,但不一定是直角三角形 B．ΔABC是直角三角形,但不一定是等腰三角形 C．ΔABC既不是等腰三角形,也不是直角三角形 D．ΔABC既是等腰三角形,也是直角三角形 2432 5．已知f(x)=3x-x+4, f(g(x))=3x+18x+50x+69x+48.那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数和为 A．8 B．9 C．10 D．11 a2b2?6．设0 200820082006200622 7．设a,b>0,且a+b=a+b。则a+b的最大值是 A．1 B．2 C．2006 D．2008 8．如图1所示,设P为ΔABC所在平面内一点,并且AP=的面积之比等于 A． 2222 12AB+AC。则ΔABP的面积与ΔABC551122 B． C． D． 52539．已知a,b,c,d是偶数,且0 A．384 B．324 C．284 D．194 n-1 10．将数列{3}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1）,（3,9）,（27,81,243）,…。则第100组的第一个数是 4950500050105050 A．3 B．3 C．3 D．3 11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点A关于直线A1C、直线BD1的对称点分别为点P和Q。则P,Q两点间的距离是 A． 22333242 B． C． D． 32432x2y12．已知F1,F2分别为双曲线2?2?1的左、右焦点,P为双曲线左支上的任意一点。若 ab|PF2|2的值为8a,则双曲线离心率e的取值范围是 |PF1|A．(1,+∞) B．(0,3] C．(1,3] D．(1,2] 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题4分,共16分） 13．已知 tan(???)sin(??2?)1?的值?3,且??k?,????n??(n,k?Z)。则 tan?sin?22是_________. 14. 设正数数列{an}的前n项之和为b,数列{bn}的前n项之积为cn,且bn+cn=1.则数列?中最接近2000的数是_________. 15.不等式?2??1??a?n?x2?2x?4?x2?10x?28?2的解集为 _________. 16. 已知常数a>0,向量m=(0,a),n=(1,0),经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直互与 经过定点B(0,a)以n+2+λm为方向向量的直线相交于点P,其中,λ∈R。则点P的轨迹方程为_________. 三、解答题（共74分） 17.（12分）甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面 朝上时,甲赢得乙一张卡片；否则,乙赢得甲一张卡片,规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时,游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。 18.（12分）设∠A,∠B,∠C是ΔABC的三个内角。若向量 A?B?A?B?9??5m??1?cos(A?B),cos?,n??,cos?,且m?n=. 2?2?8??8(1)求证：tanA?tanB=(2)求 1； 9absinC的最大值。 222a?b?c19. （12分）如图2,ΔABC的内切圆⊙I分别切BC,CA于点D,E,直线BI交DE于点G。求证：AG?BG. 20．（12分）设f(x)是定义在R上的以2为周期的函数,且是偶函数,在区间[2,3] 2 上,f(x)=-2(x-3)+4。矩形ABCD的两个顶点A,B在x轴上,C,D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图象上。求矩形ABCI面积的最大值。 21.（12分）如图3所示,已知椭圆长轴端点A,B,弦EF与AB交于点D,O为椭圆中心,且|OD|=1,2DE+DF=0,?FDO??4。 （1）求椭圆长轴长的取值范围； （2）若D为椭圆的焦点,求椭圆的方程。 22．（14分）已知数列{xn}中,x1=a, an+1= 2xn. 21?xn（1）设a=tanθ?0???????4?,若x3?,求θ的取值范围； 2?5（2）定义在（-1,1）内的函数f(x),对任意x,y∈(-1,1),有f(x)-f(y)=f??1?xy??,若 ???x?y?f(a)?1,试求数列{f(xn)}的通项公式。 2 答案： 第Ⅰ卷 1．B． M∩Nd xOy平面上的图形关于x轴对称,由此,M∩N的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以2即可。由题意知M∩N的图形在第一象限的面积为 111??. 2362．C． 过点D作DF//CB,过点A作AE//BC,联结CE,ED,AF,BF,将棱锥补成棱柱。故所求棱锥面积为 111?CE?CDsin∠ECD?h=. 3223．C． 符合要求的取球情况共有四种：
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