∴点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内. 答案 A
3.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( )
A.B1E=EB B.B1E=2EB 1
C.B1E=EB
2D.E与B重合
解析 分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,→→
0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则D1F=(0,1,-2),DE=(2,2,z),→→
因为D1F·DE=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.
答案 A
→→
4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为( ) A.a
2
12
B.a 212
C.a 4
D.
32a 4
→→→
解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c,
则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.
→
AE=(a+b),AF=c,
1→→1
∴AE·AF=(a+b)·c
22
112122
=(a·c+b·c)=(acos 60°+acos 60°)=a. 444答案 C
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=
2a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) 3
12
→
12
A.斜交 C.垂直
B.平行
D.MN在平面BB1C1C内
2a, 3
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1M=AN=
2a??2aa??2a2a?→?a则M?a,,?,N?,,a?,MN=?-,0,?.
33??333????3又C1D1⊥平面BB1C1C,
→
所以C1D1=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量. →→
因为MN·C1D1=0,
→→
所以MN⊥C1D1,又MN?平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C. 答案 B 二、填空题
6.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.
解析 设平面α的法向量为m=(x,y,z), →
由m·AB=0,得x·0+y-z=0?y=z, →
由m·AC=0,得x-z=0?x=z,取x=1, ∴m=(1,1,1),m=-n,∴m∥n,∴α∥β. 答案 α∥β
→→→→→
7.(2020·西安调研)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=________. 3+5-2z=0,??
解析 由条件得?x-1+5y+6=0,
??3(x-1)+y-3z=0,
4015401525
解得x=,y=-,z=4,∴x+y=-=.
77777答案
25 7
1??8.下列命题:①直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=?2,1,-?,2??则l与m垂直;②直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α;③平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β;④平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上). 1???1?解析 对于①,∵a=(1,-1,2),b=?2,1,-?,∴a·b=1×2-1×1+2×?-?=0,
2???2?∴a⊥b,∴直线l与m垂直,①正确;
对于②,a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),∴a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,∴a⊥n,∴l∥α或l?α,②错误;
对于③,∵n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),∴n1与n2不共线,∴α∥β不成立,③错误; →→
对于④,∵点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),∴AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0).∵向量n=(1,u,t)是平面α的法向量, →??n·AB=0,??-1+u+t=0,
∴?即?则u+t=1,④正确.
?→-1+u=0,???n·BC=0,综上,真命题的序号是①④.
答案 ①④ 三、解答题
9.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
证明 如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则
1???1?D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M?0,1,?,N?,1,1?, 2???2?1?→→?1→
于是MN=?,0,?,DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0).
2??2设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
??x+z=0,→
则n·DA1=0,且n·DB=0,得?
?x+y=0.?
→
取x=1,得y=-1,z=-1. 所以n=(1,-1,-1).
1?→?1
又MN·n=?,0,?·(1,-1,-1)=0,
2??2→
所以MN⊥n.
又MN?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.
10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过点E作EF⊥PB于点F.求证:
(1)PA∥平面EDB; (2)PB⊥平面EFD.
证明 以D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设DC=a.
(1)连接AC交BD于点G,连接EG.
依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),
?aa?E?0,,?. ?
22?
因为底面ABCD是正方形,所以G为AC的中点,
??故点G的坐标为?,,0?,
?22?
a?→→?a所以PA=(a,0,-a),EG=?,0,-?,
2??2
→→
则PA=2EG,故PA∥EG. 而EG?平面EDB,PA?平面EDB, 所以PA∥平面EDB.
→
(2)依题意得B(a,a,0),所以PB=(a,a,-a). →?aa?又DE=?0,,?,
?22?
aaaa→→→→
故PB·DE=0+-=0,所以PB⊥DE,
22
所以PB⊥DE.
由题可知EF⊥PB,且EF∩DE=E, 所以PB⊥平面EFD.
B级 能力提升
11.有下列命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;→→→→→→
③若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则MP=xMA+yMB.其中真命题的个数是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
22
解析 ①正确;②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立;③正确;④中若
M,A,B共线,点P不在此直线上,则MP=xMA+yMB不正确.
→→→
2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第6节空间向量及空间位置关系教学案含解析新人教A版
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