∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内. 答案 A
3.如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )
A.B1E＝EB B.B1E＝2EB 1
C.B1E＝EB
2D.E与B重合
解析 分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，→→
0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则D1F＝(0，1，－2)，DE＝(2，2，z)，→→
因为D1F·DE＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB.
答案 A
→→
4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为( ) A.a
2
12
B.a 212
C.a 4
D.
32a 4
→→→
解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
→
AE＝(a＋b)，AF＝c，
1→→1
∴AE·AF＝(a＋b)·c
22
112122
＝(a·c＋b·c)＝(acos 60°＋acos 60°)＝a. 444答案 C
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝
2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) 3
12
→
12
A.斜交 C.垂直
B.平行
D.MN在平面BB1C1C内
2a， 3
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝
2a??2aa??2a2a?→?a则M?a，，?，N?，，a?，MN＝?－，0，?.
33??333????3又C1D1⊥平面BB1C1C，
→
所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量. →→
因为MN·C1D1＝0，
→→
所以MN⊥C1D1，又MN?平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C. 答案 B 二、填空题
6.已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.
解析 设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， →
由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z， →
由m·AC＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1， ∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案 α∥β
→→→→→
7.(2020·西安调研)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________. 3＋5－2z＝0，??
解析 由条件得?x－1＋5y＋6＝0，
??3（x－1）＋y－3z＝0，
4015401525
解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝.
77777答案
25 7
1??8.下列命题：①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝?2，1，－?，2??则l与m垂直；②直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1.其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上). 1???1?解析 对于①，∵a＝(1，－1，2)，b＝?2，1，－?，∴a·b＝1×2－1×1＋2×?－?＝0，
2???2?∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l?α，②错误；
对于③，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，③错误； →→
对于④，∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴AB＝(－1，1，1)，BC＝(－1，1，0).∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量， →??n·AB＝0，??－1＋u＋t＝0，
∴?即?则u＋t＝1，④正确.
?→－1＋u＝0，???n·BC＝0，综上，真命题的序号是①④.
答案 ①④ 三、解答题
9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD.
证明 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则
1???1?D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M?0，1，?，N?，1，1?， 2???2?1?→→?1→
于是MN＝?，0，?，DA1＝(1，0，1)，DB＝(1，1，0).
2??2设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
??x＋z＝0，→
则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?
?x＋y＝0.?
→
取x＝1，得y＝－1，z＝－1. 所以n＝(1，－1，－1).
1?→?1
又MN·n＝?，0，?·(1，－1，－1)＝0，
2??2→
所以MN⊥n.
又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.
10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD.
证明 以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.
设DC＝a.
(1)连接AC交BD于点G，连接EG.
依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，
?aa?E?0，，?. ?
22?
因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点，
??故点G的坐标为?，，0?，
?22?
a?→→?a所以PA＝(a，0，－a)，EG＝?，0，－?，
2??2
→→
则PA＝2EG，故PA∥EG. 而EG?平面EDB，PA?平面EDB， 所以PA∥平面EDB.
→
(2)依题意得B(a，a，0)，所以PB＝(a，a，－a). →?aa?又DE＝?0，，?，
?22?
aaaa→→→→
故PB·DE＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，
22
所以PB⊥DE.
由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD.
B级 能力提升
11.有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；→→→→→→
③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
22
解析 ①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中若
M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP＝xMA＋yMB不正确.
→→→
2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第6节空间向量及空间位置关系教学案含解析新人教A版
