第五讲 同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？
问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。 问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）. （*） 上式可读作： a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）： a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。 ②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。 ③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。 例如，表示a是一个偶数，可以写 a≡0（mod 2）
表示b是一个奇数，可以写 b≡1（mod 2）
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是： ab（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。 性质1：a≡a（mod m），（反身性） 这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。 性质6：若a≡b（mod m），那么a≡b（mod m），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。 注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。 例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。 请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？ 解：∵288-214=74=37×2。 ∴288≡214（mod37）。
n
n
∵74-20=54，而3754， ∴7420（mod37）。
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。 解：∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13）， ∴ 根据同余的性质5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
答：乘积418×814×1616除以13余数是12。 例3 求14389除以7的余数。
分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。 解法1：∵143≡3（mod7） ∴14389≡389（mod 7） ∵89＝64+16+8+1 而32≡2（mod 7）， 34≡4（mod7）， 38≡16≡2（mod 7）， 316≡4（mod 7）， 332≡16≡2（mod 7）， 364≡4（mod 7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7）， ∴14389≡5（mod 7）。 答：14389除以7的余数是5。 解法2：证得14389≡389（mod 7）后， 36≡32×34≡2×4≡1（mod 7）， ∴384≡（36）14≡1（mod 7）。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。 ∴14389≡5（mod 7）。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？
分析 与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod 9）。 分析 首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。
又∵ 1≡1（mod 9）， 10≡1（mod 9）， 102≡1（mod 9）， …
10n≡1（mod 9），
上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、an，再相加得： a0＋a1×10+a2×102+…+an×10n ≡a0＋a1＋a2＋…＋an（mod 9）， 即 N≡M（mod 9）.
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质： 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。 再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。 用弃九法检验乘式5483×9117≡是否正确？ 因为 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9）， 9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9）， 所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。 但是 ≡4+9＋8+8+8＋5+1+1 ≡8（mod9），
所以 5483×9117≠，即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9）， 4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9）， ≡3+2+4+7＋5+6+8+9 ≡8（mod 9），
这时，9875×4873≡2×4≡（mod 9）。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。 弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。 例6 用弃九法检验下面的计算是否正确： ÷7312＝3544。 解：把除式转化为： 3544×7312＝。
∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9）， 7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9）， ∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9）， 但 ≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。 而 17（mod 9） ∴ 3544×7312≠，
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