第五讲 同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗?
问题1:今天是星期日,再过15天就是“六·一”儿童节了,问“六·一”儿童节是星期几? 这个问题并不难答.因为,一个星期有7天,而15÷7=2…1,即15=7×2+1,所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期几?
这个问题也难不倒我们.因为,1993年有365天,而365=7×52+1,所以1994年的元旦应该是星期六。 问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中,时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除,所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后,余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为: a≡b(modm). (*) 上式可读作: a同余于b,模m。
同余式(*)意味着(我们假设a≥b): a-b=mk,k是整数,即m|(a-b).
例如:①15≡365(mod7),因为365-15=350=7×50。 ②56≡20(mod9),因为56-20=36=9×4。 ③90≡0(mod10),因为90-0=90=10×9。
由例③我们得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为:a≡0(modm)。 例如,表示a是一个偶数,可以写 a≡0(mod 2)
表示b是一个奇数,可以写 b≡1(mod 2)
补充定义:若m(a-b),就说a、b对模m不同余,用式子表示是: ab(modm)
我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数,而m是自然数)。 性质1:a≡a(mod m),(反身性) 这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2:若a≡b(mod m),那么b≡a(mod m),(对称性)。
性质3:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么a≡c(mod m),(传递性)。 性质4:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡b±d(mod m),(可加减性)。 性质5:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。 性质6:若a≡b(mod m),那么a≡b(mod m),(其中n为自然数)。
性质7:若ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么a≡b(mod m),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。 注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的。 例如6≡10(mod 4),而35(mod 4),因为(2,4)≠1。 请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。 例1 判定288和214对于模37是否同余,74与20呢? 解:∵288-214=74=37×2。 ∴288≡214(mod37)。
n
n
∵74-20=54,而3754, ∴7420(mod37)。
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
分析 若先求乘积,再求余数,计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”,减少计算量。 解:∵418≡2(mod13),
814≡8(mod13),1616≡4(mod13), ∴ 根据同余的性质5可得:
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13)。
答:乘积418×814×1616除以13余数是12。 例3 求14389除以7的余数。
分析 同余的性质能使“大数化小”,凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。 解法1:∵143≡3(mod7) ∴14389≡389(mod 7) ∵89=64+16+8+1 而32≡2(mod 7), 34≡4(mod7), 38≡16≡2(mod 7), 316≡4(mod 7), 332≡16≡2(mod 7), 364≡4(mod 7)。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod 7), ∴14389≡5(mod 7)。 答:14389除以7的余数是5。 解法2:证得14389≡389(mod 7)后, 36≡32×34≡2×4≡1(mod 7), ∴384≡(36)14≡1(mod 7)。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod 7)。 ∴14389≡5(mod 7)。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,…,这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?
分析 与解答经观察试验我们可以发现,每经过4次互换,四盏灯的颜色排列重复一次,而1小时=60分钟=120×30秒,所以这道题实质是求120除以4的余数,因为120≡0(mod 4),所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位,…上的数码,再设M=a0+a1+…+an,求证:N≡M(mod 9)。 分析 首先把整数N改写成关于10的幂的形式,然后利用10≡1(mod 9)。
又∵ 1≡1(mod 9), 10≡1(mod 9), 102≡1(mod 9), …
10n≡1(mod 9),
上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、an,再相加得: a0+a1×10+a2×102+…+an×10n ≡a0+a1+a2+…+an(mod 9), 即 N≡M(mod 9).
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质: 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。
例如,求1827496被9除的余数,只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求和被9除的余数。 再观察一下上面求和式.我们可以发现,和不一定要求出.因为和式中1+8,2+7,9被9除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求4+6被9除的余数.因此,1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对,这种检查方法叫:弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。 用弃九法检验乘式5483×9117≡是否正确? 因为 5483≡5+4+8+3≡11≡2(mod 9), 9117≡9+1+1+7≡0(mod 9), 所以 5483×9117≡2×0≡0(mod 9)。 但是 ≡4+9+8+8+8+5+1+1 ≡8(mod9),
所以 5483×9117≠,即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确,但不能保证一定正确。 例如,9875≡9+8+7+5≡2(mod 9), 4873≡4+8+7+3≡4(mod 9), ≡3+2+4+7+5+6+8+9 ≡8(mod 9),
这时,9875×4873≡2×4≡(mod 9)。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。 弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。 例6 用弃九法检验下面的计算是否正确: ÷7312=3544。 解:把除式转化为: 3544×7312=。
∵ 3544≡3+5+4+4≡7(mod 9), 7312≡7+3+1+2≡4(mod 9), ∴ 3544×7312≡7×4≡1(mod 9), 但 ≡2+3+3+8≡7(mod 9)。 而 17(mod 9) ∴ 3544×7312≠,
小学数学图形计算例题大汇总
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