专题限时集训(二十三) 排列、组合与二项式定理
(建议用时：4 5分钟)
1．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数有多少个．
【导学号：19592064】
[解] 若a2＝2，则“凸数”为120与121，共2个. 3分
若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6个，若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12个，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72个. 8分
∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个). 10分
2．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？
[解] 可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人. 2分 星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；4分 星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；6分
星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法； 8分 同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1 280(种)不同的排法. 10分
3．设f(x，n)＝(1＋x)(n∈N)． (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；
(2)f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求Cn－Cn＋Cn－Cn＋Cn.
[解] (1)f(x,6)＝(1＋x)展开式中系数最大的项是第4项，即T4＝C6x＝20x. 4分 (2)由题意，得(1＋i)＝32i，两边取模，得(2)＝32，所以n＝10. 6分 Cn－Cn＋Cn－Cn＋Cn＝C10－C10＋C10－C10＋C10. 而(1＋i)＝C10＋C10i＋C10i＋…＋C10i＋C10i
＝(C10－C10＋C10－C10＋C10－C10)＋(C10－C10＋C10－C10＋C10)i＝32i， 8分 所以C10－C10＋C10－C10＋C10＝32. 10分
322nn4．已知(x＋x)的展开式的二项式系数的和比(3x－1)的展开式的二项式系数的和1?n?大992，求?2x－?的展开式中二项式系数最大的项．
1
3
5
7
9
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
10
0
1
2
2
9
9
1010
1
3
5
7
9
1
3
5
7
9
6
33
3
1
3
5
7
9
n*
nn?x?
322n2nn[解] 令x＝1，则(x＋x)的展开式各项系数之和为f(1)＝(1＋1)＝4，2分 (3x－1)的展开式中各项的二项式系数之和为2，由题意知4－2＝992. 4分 ∴(2)－2－992＝0，∴(2＋31)(2－32)＝0，
n2
nnnnnnn 1
∴2＝－31(舍)或2＝32，∴n＝5. 8分
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝C52x＝80x，T4＝－C52x＝－40x. 10分
5．(2016·南通二调)设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N)，其中ai∈{0,1}(i＝1,2，…，4k)．当
*
32－1
－1
23
nnS4k除以4的余数是b(b＝0,1,2,3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．
(1)当k＝2时，求m(1)的值； (2)求m(3)关于k的表达式，并化简．
[解] (1)当k＝2时，数列a1，a2，a3，…，an中有1个或5个1，其余为0，所以m＝C8＋C8＝64. 4分
(2)依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，…，或(4k－1)个1，其余为0，
所以m(3)＝C4k＋C4k＋C4k＋…＋C4k.
同理，得m(1)＝C4k＋C4k＋C4k＋…＋C4k. 6分 因为C4k＝C4k(i＝3,7,11，…，4k－1)， 所以m(1)＝m(3)．
又m(1)＋m(3)＝C4k＋C4k＋C4k＋…＋C4k＋C4k＝2所以m(3)＝2
4k－2
1
3
5
4k－3
4k－1
4k－1
1
5
9
4k－3
3
7
11
4k－1
1
5
i4k－i，
＝4
2k－1
. 10分
?1?m6．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a3是?1＋x?展开式的前三项的系数．
?2??1?m(1)求?1＋x?展开式的中间项；
?2?
11111
(2)当n≥2时，试比较＋＋＋…＋与的大小．
anan＋1an＋2an23
?1?m?1?m1?1?2?1?2m[解] (1)?1＋x?＝1＋Cm?x?＋Cm?x?＋…＋Cm·?x?，
?2??2??2??2?
1m依题意a1＝1，a2＝m，a3＝
2分
354?1?m4?1?4
所以?1＋x?展开式的中间项是第五项为T5＝C8?x?＝x. 4分
?2??2?8(2)由(1)知，an＝3n－2，
1111111111691当n＝2时，＋＋＋…＋＝＋＋＝＋＋＝＞， 5分
anan＋1an＋2an2a2a3a44710140311111111
当n＝3时，＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
m－1
8
，由2a2＝a1＋a3可得m＝1(舍去)，或m＝8. 3
anan＋1an＋2an2a3a4a5a9
11111111?111??111?＝＋＋＋＋＋＋＝＋?＋＋?＋?＋＋? 71013161922257?101316??192225?
2
＞18＋??1?16＋116＋116???＋??111?32＋32＋32??1331311
?＝8＋16＋32＞8＋16＋16＞3. 6分 猜测：当n≥2时，11111
a＋＋＋…＋＞.
nan＋1an＋2an23以下用数学归纳法加以证明： ①n＝2时，结论成立，
②设当n＝k时，1a＋1a＋1＋…＋1＞1
，
kk＋1ak＋2ak23则n＝k＋1时，
1
1
a＋
1
＋1
k＋1ak＋1＋1
a＋…＋
k＋1＋2
ak＋12
＝??111
?a＋
＋
＋
1
＋…＋1kak＋1ak＋1＋a??1＋11
ak＋1＋2
k2??＋?
?ak2＋1a
k2＋2
＋…＋
1
a－1
k＋12
a?k??
＞1?1112k＋13＋?1?a＋＋…＋k2＋1ak2＋2a－?k＋12ak??＞13＋3k＋12
－2－1
3k－2
2
＝12k＋1
3k－2－[3k＋1
－2]3k2
3＋[3
k＋12－2]3k－2
＝1
3＋－7k－3
[3
k＋12－2]3k－2
.
由k≥3可知，3k2
－7k－3＞0， 即
1
1
a＋
1
＞1k＋1a＋
k＋1＋1
a＋…＋1
k＋1＋2
ak＋1
2
3. 综合①②可得，当n≥2时，111a＋＋＋…＋1＞1
. 10分
nan＋1an＋2an233
(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题6算法、复数、推理与证明、概率与统计第22讲排列
