北京市西城区2017年高三年级统一测试
数学（理科） 2017.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知全集U?R，集合A?{x|x?2}，B?{x|x?0}，那么AIeUB? （A）{x|0≤x?2} （C）{x|x?0} 2．在复平面内，复数（A）第一象限 （C）第三象限
（B）{x|0?x?2} （D）{x|x?2}
i的对应点位于 1?i（B）第二象限 （D）第四象限
223．函数f(x)?sinx?cosx的最小正周期是
（A）
? 2（B）? （C）
3? 2（D）2?
x4．函数f(x)?2?log2|x|的零点个数为
（A）0 （B）1
??????（C）2 （D）3
5．在△ABC中，点D满足BC?3BD，则 （A）AD????????2???1??AB?AC 33（B）AD????????2???1??AB?AC 33?1???2??（C）AD?AB?AC
33?1???2??（D）AD?AB?AC
336．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A）25 （B）42 （C）6 （D）43
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7．数列{an}的通项公式为an?|n?c|(n?N*)．则“c≤1”是“{an}为递增数列”的 （A）充分而不必要条件 （C）充要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
8．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m，则m的最大值为 （A）8
（B）9
（C）10
（D）11
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在(1?2x)5的展开式中，x2的系数为____．（用数字作答）
10．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1?3，S2?9，则an?____；Sn?____．
11．执行如右图所示的程序框图，输出的S值为____．
?x?cos?,12．曲线?（?为参数）与直线x?y?1?0相交于A,B两点， y?1?sin??则|AB|?____．
13．实数a,b满足0?a≤2，b≥1．若b≤a2，则
14． 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．
平面区域W由所有满足A1P≤5的点P组成，则W的面积是____；四面体P?A1BC的 体积的最大值是____．
b的取值范围是____． a2 / 11
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且atanC?2csinA． （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA?sinB的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，在正四棱锥P?ABCD中，PA?AB，E，F分别为PB，PD的中点． （Ⅰ）求证：AC?平面PBD；
（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值； （Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求
17．（本小题满分13分）
在测试中，客观题难度的计算公式为Pi?参加测试的总人数．
现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号 考前预估难度Pi 1 0.9 2 0.8 3 0.7 4 0.6 5 0.4 PM的值． PCRi，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为N测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号 实测答对人数 1 16 2 16 3 14 4 14 5 4 （Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设Pi?为第i题的实测难度，请用Pi和Pi?设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
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18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?ex?x2．设l为曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线，其中x0?[?1,1]． （Ⅰ）求直线l的方程（用x0表示）；
（Ⅱ）设O为原点，直线x?1分别与直线l和x轴交于A,B两点,求△AOB的面积的最小值．
19．（本小题满分14分）
12x2y21如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点．A(?a,0)，
ab2|AF|?3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x?4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x?4交于点E．求证：?ODF??OEF．
20．（本小题满分13分）
如图，将数字1,2,3,L,2n(n≥3)全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a1,a2,L,an，第二行填入的数字依次为b1,b2,L,bn．
记Sn??|ai?bi|?|a1?b1|?|a2?b2|?L?|an?bn|．
i?1n（Ⅰ）当n?3时，若a1?1，a2?3，a3?5，写出S3的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数n．试给出a1,a2,L,an的一组取值，使得无论b1,b2,L,bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．
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北京市西城区2017年高三年级统一测试
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2017.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．40 10．3?2n?1；3?(2n?1) 11．6 1π412．2 13． [,2] 14．；
432注：第10，14题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由 atanC?2csinA，
得
asinC??2sinA． [ 1分] ccosCsinAsinC??2sinA． [ 3分] sinCcosC由正弦定理得 所以 cosC?1． [ 4分] 2因为 C?(0,π)， [ 5分]
所以 C?π． [ 6分] 32π（Ⅱ） sinA?sinB?sinA?sin(?A) [ 7分]
333?sinA?cosA [ 8分] 22π?3sin(A?)． [ 9分]
6π2π因为 C?， 所以 0?A?， [10分]
33ππ5π所以 ?A??， [11分]
6661π所以 ?sin(A?)≤1， [12分]
26所以 sinA?sinB的取值范围是(3,3]． [13分] 25 / 11
北京市西城区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案
