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高中数学竞赛专题之数列
一、数列的性质
等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：
性质1：若a1,a2,?,an,?是等差（等比）数列，那么ai,ai?j,?,ai?kj,?仍是等差（等比）数列。
性质2：若{an}为等差数列，且
?i??jll?1l?1klkkl，那么
k?a??al?1ill?1kkjl（脚标和相同则对应的
项的和相同）；若{an}为等比数列，且应的项的积相同）。
性质3：若{an}为等差数列，记S1??i??jl?1l?1l，那么?ail??ajl（脚标和相同则对
l?1l?1kk?a,Sii?1k2??ai?k,?,Sm??ai?(m?1)k,?，那么
i?1i?1kk{Sm}仍为等差数列，{an}为等比数列，记P1??ai,P2??ai?k,?,Pm??ai?(m?1)k,?，
l?1l?1l?1kkk那么{Pm}仍为等比数列。
性质4：若{an}为等比数列，公比为q，且|q|〈1，则limSn?n??a1。 1?q
例1、若{an}、{bn}为等差数列，其前n项和分别为Sn,Tn，若
Sn2n?， Tn3n?1则liman624?（ ）A.1 B. C. D.
n??b339n例2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ ）
A.130 B. 170 C. 210 D.260
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例3、{an}、{bn}为等差数列，其前n项和分别为Sn,Tn，若
Sn3n?31? Tn31n?3（1）求
b28bn的值， （2）求使为整数的所有正整数n。
ana28
例4、在等差数列{an}中，若a10?0，则有等式
a1?a2???an?a1?a2???a19?n,(n?19,n?N)成立，类比上述性质，相应地：
在等比数列{bn}中，若b9?1，则有等式 成立。
例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。
Tn例6、设Mn?{(十进制）n位纯小数0.a1a2?an|ai只取0或1，i?1,2,?n,an?1}，
是Mn的元素个数，Sn是所有元素的和，则limSn? 。
n??Tn例7、设A={1,2,…n},Sn是A的所有非空真子集元素的和，Bn表示A的子集个数，求
n??limSnn2Bn的值。
例8、设数列{an}的前n项和为Sn?2an?1,(n?1,2,?)，数列{bn}满足
b1?3,bk?1?ak?bk,(k?1,2,?)，求数列{bn}的前n项和。
方法：首先找出{an}的通项式，在找出{bn}的通项式
例9、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1?a1,b2?a2,b3?a3,(a1?a2)，
222又lim(b1?b2???bn)?n??2?1，试求{an}的通项公式。
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例10、设Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn?式为bn?4n?3，
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）若d?{a1,a2,?an,?}?{b1,b2,?bn,?}，则称d为数列{an}与{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明：{dn}的通项公式为
3(an?1),(n?N)，数列{bn}的通项2dn?32n?1,(n?N)。
例11、n(n?4)个正数排成n行n列：
2a11,a12,a13,?a1n a21,a22,a23?a2n
??????
an1,an2,an3,?ann
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知
13a24?1,a42?,a43?，求a11+a22+a33??+ann的值。
816 作业：
1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于 组中。
2、在等差数列{an}中，公差d?0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列
a1,a3,ak1,ak2,?,akn,?成等比数列，求数列{kn}的通项公式。
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3、设正数数列{an}满足2Sn?an?1,bn?an?2an?3，（1）求数列{an}的通项公
2式，（2）设M?am?bn?m2?n2?2(ambn?mn)，试求M的最小值。
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二、数学归纳法
数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力； （2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法：设T(n)是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）T(1)是成立的，（2）假设T(k)成立能推出T(k?1)成立，则命题对一切自然数n都成立。
第二数学归纳法：设T(n)是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）T(1)是成立的，（2）假设T(1)，T(2)，…T(k)成立能推出T(k?1)成立，则命题对一切自然数n都成立。 解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。
解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。 例1、已知对任意自然数n，有an?0且
例2、用Sn表示1,2,3,?2的各数的最大奇数因子之和，求证：Sn?
n?aj?1n3j?(?aj)2，求证an?n （1989年高中）
j?1n1n(4?2) 3,.
例3、设{an}是正数数列且满足Sn?11(an?)，求数列{an}的通项公式。 2an方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明
例4、已知数列{xn}满足：x1?1，当n?1时，
?(n?1)(x1x2?x2x3???xnxn?1)，试求有4(x1xn?2x2xn?1?3x3xn?2???nxnx1）数列{xn}的通项公式。方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明
例5、一个数列{Vn}定义如下：V0?2,V1?对于自然数n，有[Vn]?2方法：变化形式
例6、设数列{an}满足：a1?1?a,an?1?1n[2?(?1)n]35,Vn?1?Vn(Vn2?1?2)?V1,(n?1)，证明：2。这里[Vn]表示不超过Vn的最大整数。（IMO18-6）
1?a，这里0?a?1，求证：对所有的自然an数n，有an?1。（1977年加拿大数学奥林匹克）
例7、已知a1,a2,?an是n个正数且满足a1a2?an?1，
（2?a1）（?2?a2）?（2?an）?3 求证：
例8、已知 a, b是正实数，且满足
n11??1，试证：对每一个自然数n，有 ab
高级中学数学竞赛专业题材之数列
