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高中数学竞赛专题之数列
一、数列的性质
等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的主要性质及内容对照讨论如下:
性质1:若a1,a2,?,an,?是等差(等比)数列,那么ai,ai?j,?,ai?kj,?仍是等差(等比)数列。
性质2:若{an}为等差数列,且
?i??jll?1l?1klkkl,那么
k?a??al?1ill?1kkjl(脚标和相同则对应的
项的和相同);若{an}为等比数列,且应的项的积相同)。
性质3:若{an}为等差数列,记S1??i??jl?1l?1l,那么?ail??ajl(脚标和相同则对
l?1l?1kk?a,Sii?1k2??ai?k,?,Sm??ai?(m?1)k,?,那么
i?1i?1kk{Sm}仍为等差数列,{an}为等比数列,记P1??ai,P2??ai?k,?,Pm??ai?(m?1)k,?,
l?1l?1l?1kkk那么{Pm}仍为等比数列。
性质4:若{an}为等比数列,公比为q,且|q|〈1,则limSn?n??a1。 1?q
例1、若{an}、{bn}为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,若
Sn2n?, Tn3n?1则liman624?( )A.1 B. C. D.
n??b339n例2、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项的和为( )
A.130 B. 170 C. 210 D.260
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例3、{an}、{bn}为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,若
Sn3n?31? Tn31n?3(1)求
b28bn的值, (2)求使为整数的所有正整数n。
ana28
例4、在等差数列{an}中,若a10?0,则有等式
a1?a2???an?a1?a2???a19?n,(n?19,n?N)成立,类比上述性质,相应地:
在等比数列{bn}中,若b9?1,则有等式 成立。
例5、一个正数,其小数部分、整数部分和其本身成等比数列,则该数为 。
Tn例6、设Mn?{(十进制)n位纯小数0.a1a2?an|ai只取0或1,i?1,2,?n,an?1},
是Mn的元素个数,Sn是所有元素的和,则limSn? 。
n??Tn例7、设A={1,2,…n},Sn是A的所有非空真子集元素的和,Bn表示A的子集个数,求
n??limSnn2Bn的值。
例8、设数列{an}的前n项和为Sn?2an?1,(n?1,2,?),数列{bn}满足
b1?3,bk?1?ak?bk,(k?1,2,?),求数列{bn}的前n项和。
方法:首先找出{an}的通项式,在找出{bn}的通项式
例9、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且b1?a1,b2?a2,b3?a3,(a1?a2),
222又lim(b1?b2???bn)?n??2?1,试求{an}的通项公式。
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例10、设Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn?式为bn?4n?3,
(1)求数列{an}的通项公式,
(2)若d?{a1,a2,?an,?}?{b1,b2,?bn,?},则称d为数列{an}与{bn}的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn},证明:{dn}的通项公式为
3(an?1),(n?N),数列{bn}的通项2dn?32n?1,(n?N)。
例11、n(n?4)个正数排成n行n列:
2a11,a12,a13,?a1n a21,a22,a23?a2n
??????
an1,an2,an3,?ann
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,已知
13a24?1,a42?,a43?,求a11+a22+a33??+ann的值。
816 作业:
1、将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按n组有(2n-1)个奇数进行分组:{1}、{3,5,7}、{9,11,13,15,17}….,则1991位于 组中。
2、在等差数列{an}中,公差d?0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列
a1,a3,ak1,ak2,?,akn,?成等比数列,求数列{kn}的通项公式。
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3、设正数数列{an}满足2Sn?an?1,bn?an?2an?3,(1)求数列{an}的通项公
2式,(2)设M?am?bn?m2?n2?2(ambn?mn),试求M的最小值。
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二、数学归纳法
数学归纳法在一定程度上考察了以下能力:(1)从整体上直接领悟数学对象本质的能力; (2)从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力;(3)从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法:设T(n)是一个关于自然数n的命题,满足以下条件:(1)T(1)是成立的,(2)假设T(k)成立能推出T(k?1)成立,则命题对一切自然数n都成立。
第二数学归纳法:设T(n)是一个关于自然数n的命题,满足以下条件:(1)T(1)是成立的,(2)假设T(1),T(2),…T(k)成立能推出T(k?1)成立,则命题对一切自然数n都成立。 解题思维过程:尝试——观察——归纳、猜想——证明,即从特殊关系中概括一般规律,建立猜想,给出严格证明。
解题策略:从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。 例1、已知对任意自然数n,有an?0且
例2、用Sn表示1,2,3,?2的各数的最大奇数因子之和,求证:Sn?
n?aj?1n3j?(?aj)2,求证an?n (1989年高中)
j?1n1n(4?2) 3,.
例3、设{an}是正数数列且满足Sn?11(an?),求数列{an}的通项公式。 2an方法:尝试——观察——归纳、猜想——证明
例4、已知数列{xn}满足:x1?1,当n?1时,
?(n?1)(x1x2?x2x3???xnxn?1),试求有4(x1xn?2x2xn?1?3x3xn?2???nxnx1)数列{xn}的通项公式。方法:尝试——观察——归纳、猜想——证明
例5、一个数列{Vn}定义如下:V0?2,V1?对于自然数n,有[Vn]?2方法:变化形式
例6、设数列{an}满足:a1?1?a,an?1?1n[2?(?1)n]35,Vn?1?Vn(Vn2?1?2)?V1,(n?1),证明:2。这里[Vn]表示不超过Vn的最大整数。(IMO18-6)
1?a,这里0?a?1,求证:对所有的自然an数n,有an?1。(1977年加拿大数学奥林匹克)
例7、已知a1,a2,?an是n个正数且满足a1a2?an?1,
(2?a1)(?2?a2)?(2?an)?3 求证:
例8、已知 a, b是正实数,且满足
n11??1,试证:对每一个自然数n,有 ab
高级中学数学竞赛专业题材之数列



