1?82AB＝. ∴S正方形MNPQ ∶S正方形AEFG＝?AB?∶??3??2?98【答案】 913．如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连结BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为 ． 22 【解析】在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°.∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO.∵正方形ABCD的边长为22，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝FM2，∴直角三角形BOE中，BE＝12＋22＝5.由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴EO＝BFFM15，即＝，∴FM＝. BE155 【答案】5 514．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 ． 【解析】∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10.∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝5.若△POD为等腰三角形，分三种情况讨论：(1)当PO＝PD时，点P在OD的垂直平分线上，∴点P的坐标为(2.5，4)； (2)当OP＝OD时，如图1所示，则OP＝OD＝5，PC＝52－42＝3，∴点 P的坐标为(3，4)；(3)当DP＝DO时，作PE⊥OA于点E，则∠PED＝90°，DE＝52－42＝3；分两种情况：当点E在点D的左侧时，如图2所示，OE＝5－3＝2，∴点P的坐标为(2，4)；当点E在点D的右侧时，如图3所示，OE＝5＋3＝8，∴点P的坐标为(8，4)．综上可得，点P的坐标为(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)． 16
【答案】(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4) 15．(2016·衢州华茂外国语学校模拟)我们给出如下定义：顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． (1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； (2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； (3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明) (1)证明：如图，连结BD． ∵点E，H分别为边AB，AD的中点， 1∴EH∥BD，EH＝BD． 2∵点F，G分别为边BC，CD的中点， 1∴FG∥BD，FG＝BD． 2∴EH∥FG，EH＝FG. ∴中点四边形EFGH是平行四边形． 17
(2)解：四边形EFGH是菱形． 如图，连结AC，BD． ∵∠APB＝∠CPD．∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD．即∠APC＝∠BPD．又∵PA＝PB，PD＝1PC．∴△APC≌△BPD(SAS)．∴AC＝BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝
21BD．∴EF＝FG.又∵四边形EFGH是平行四边形， 2∴中点四边形EFGH是菱形． (3)解：四边形EFGH是正方形．证明如下： 如图，AC与BD相交于点O，由(2)得四边形EFGH是菱形，由△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，进而可得∠COD＝∠CPD＝90°，由EH∥BD，AC∥HG可得∠EHG＝90°，则四边形EFGH是正方形． 16．(2015·绍兴、义乌)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点P、点Q分别是边BC、边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点． (1)若四边形OABC为矩形，如图1. ①求点B的坐标． ②若BQ∶BP＝1∶2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标． 解：(1)①点B(4，2)． ②如图a，过点P作PD⊥OA，垂足为点D， 18
图a ∵BQ∶BP＝1∶2，点B关于PQ的对称点为B1，∴B1Q∶B1P＝1∶2， ∵∠PDB1＝∠PB1Q＝∠B1AQ＝90°，∴∠PB1D＝∠B1QA，∴△PB1D∽△B1QA，∴∴B1A＝1，∴OB1＝3，即点B1(3，0)． (2)若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F，若B1E∶B1F＝1∶3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围． PDPB1＝＝2， AB1B1Q (2)∵四边形OABC为平行四边形，OA＝4，OC＝2，且OC⊥AC，∴∠OAC＝30°，∴点C(1，3)．∵B1E∶B1F＝1∶3，∴点B1不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上． 图b ①当点B1在线段FE的延长线上，如图b，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E∶B1F＝1∶3，∴B1G＝m，设OG＝a， 则GF＝32323a，OF＝a，∴CF＝2－a， 333 19
4323∴FE＝4－a，B1E＝2－a， 33323??43?∴B1G＝B1E＋EF＋FG＝?2－a＋4－a＋3a＝m， 3??3??∴a＝－3636m＋3，即B1的纵坐标为－m＋3， 55551710m的取值范围是≤m≤1＋7. 77②当点B1在线段EF(除点E，F)上，如图c，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m， 图c B1F∥x轴，B1E∶B1F＝1∶3， ∴B1G＝m，设OG＝a，则GF＝323a，OF＝a， 3323433∴CF＝2－a，∴FE＝4－a，B1F＝EF＝3－3a， 334∴B1G＝B1F＋FG＝(3－3a)＋∴a＝－3a＝m， 33333m＋3，即点B1的纵坐标为－m＋3， 222215m的取值范围是≤m≤3. 7 20
浙教版中考一轮复习 第17课时 矩形、菱形、正方形
