浙教版中考一轮复习 第17课时 矩形、菱形、正方形 

EF对称， ∵∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，∴DF1＝DE＝22，综上所述DF的长为4－22或22.故答案为4－22或22. 【答案】4－22或22 5．(2016·台州)如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”(阴影部分)，若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是 ． 【解析】在图中标上字母，令AB与A′D′的交点为点E，过E作EF⊥AC于点F，如图所示．∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∠AOB＝ 90°，∴AO＝AB·cos∠BAO＝3，BO＝AB·sin∠BAO＝1.同理可知：A′O＝3，D′O＝1， ∴AD′＝AO－D′O＝3－1.∵∠A′D′O＝90°－30°＝60°，∠BAO＝30°，∴∠AED′＝30°＝∠EAD′，∴D′E＝AD′＝ 3－1.在Rt△ED′F中，ED′＝3－1，∠ED′F＝60°， ∴EF＝ED′·sin∠ED′F＝11∴S阴影＝S菱形ABCD＋4S△AD′E＝×2AO×2BO＋4×AD′·EF＝63－6. 22【答案】63－6 6．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F. 3－3. 2 (1)证明：AE＝DF； 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF. 11

(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 解：四边形AEDF是菱形．理由如下：由(1)可知四边形AEDF是平行四边形，∴∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FDA．∴AF＝DF.∴平行四边形AEDF为菱形． 【能力提升训练】 1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 2．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( ) 1A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD 2C．AB＝AF D．BE＝AD－DF 【解析】由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC．又∵DE＝AD，∴△AFD≌△DCE(AAS)，故选项A正确；∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故选项B错误；由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD，由矩形ABCD，可得AB＝CD，∴AB＝AF，故选项C正确；由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF，由矩形ABCD，可得BC＝AD，∴BE＝BC－CE＝AD－DF，故选项D正确．故选B． 【答案】B 3．(2016·台州初级中学检测)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( D ) A．3－1 B．3－5 C．5＋1 D．5－1 4．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( A ) A．AB＝BC B．AC＝BC 12

C．∠B＝60° D．∠ACB＝60° 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为24． 【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，∴AD＝2OE＝6，C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24. 6．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ ． 【解析】如图，连结AC，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，∴∠E＝∠DAE.又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE.∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°，∴∠E＋∠E＝30°，即∠E＝15°. 【答案】15° 7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连结AE，AC，AF，则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠B，AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，∴△ABC与△ACD是全等的等边三角形．∵E，F分别为BC，CD的中1点，∴BE＝CE＝CF＝DF＝AB．在△ABE与△ACE中，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，BE＝CE，2∴△ABE≌△ACE(SAS)． 同理，△ACF≌△ADF≌△ABE，∴图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有3个．故选C． 【答案】C 13

8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为 直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( ) A．7 B．8 C．72 D．73 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD．在△ABEAB＝CD，??和△CDF中，?AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SSS)，∴∠ABE＝∠CDF.∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAG＝??BE＝DF，90°.∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF. 同理可得∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH， ∴∠DAG＋∠ADG＝∠CDF＋∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°，同理可得∠CHB＝90°.在△ABE和△DAG中， ∠ABE＝∠DAG，??， ?∠AEB＝∠DGA＝90°??AB＝DA，∴△ABE≌△DAG(AAS)， ∴AE＝DG，BE＝AG，同理可得AE＝BH，BE＝CH，即AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12， ∴EG＝GF＝FH＝EF＝12－5＝7.∵∠GEH＝180°－90°＝90°，∴四边形EGFH是正方形，∴EF＝2EG＝72.故选C． 【答案】C 9．(2016·杭州文澜中学模拟)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( A ) A．4 B．32 C．4.5 D．5 10．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( ) 14

A．6 B．3 C．2.5 D．2 【解析】如图，以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于点F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于点G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，11由等腰直角三角形的性质易得EC＝BE＝32，EG＝CG＝3，此时剩余部分面积的最小值＝4×6－×4×4－×3×6221－×3×3＝2.5.故选C． 2【答案】C 11．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( ) A．25 B．35 C．5 D．6 【解析】如图，连结EF交AC于点O，根据菱形性质，得FE⊥AC，OG＝OH，易证OA＝OC．由矩形ABCD，OAAE25AE得∠B＝90°.根据勾股定理，得AC＝42＋82＝45，OA＝25.易证△AOE∽△ABC，进而可得＝，即＝，ABAC845AE＝5.故选C． 【答案】C 12．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQ∶ S正方形AEFG 的值等于 ． 【解析】在正方形ABCD中， ∵∠ABD＝∠CBD＝45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF＝∠AEF1＝90°，∠BMN＝∠QMN＝90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形， ∴FE＝BE＝AE＝AB，BM＝MN＝QM.212同理DQ＝MQ，∴MN＝BD＝AB， 33 15