2018年高考数学真题解析
11. 已知双曲线C：分别为M、N.若
，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点
OMN为直角三角形，则|MN|=
D. 4
A. B. 3 C. 【答案】B
【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为从而得到出直线
的方程为
，所以直线
的倾斜角为
，且右焦点为或
，
，可以得，
，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为和
联立，求得
，分别与两条渐近线
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线
的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，
之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体平面
与线
所成的角是相等的，所以平面
中，
与正方体的每条棱所在的直线所成角都是
相等的，同理平面的位置为夹在两个面
也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面与，故选A.
中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若，满足约束条件【答案】6
，则
的最大值为_____________．
6
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【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线
，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线
，
过B点时
取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由画出直线
可得，
，将其上下移动，
结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值， 由此时
，解得
，
，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 14. 记为数列【答案】
，类比着写出，结合
的关系，求得
，两式相减，整理得到
，
的前项和，若
，则
_____________．
【解析】分析：首先根据题中所给的从而确定出数列求得的值.
为等比数列，再令
，之后应用等比数列的求和公式
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详解：根据两式相减得当
时，
，可得
，即，解得
， ，
，
所以数列所以
是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
，故答案是
.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令
，求得数列
的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16
【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果. 详解：根据题意，没有女生入选有从6名学生中任意选3人有
种选法，
种选法，
种，故答案是16.
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有
点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 16. 已知函数【答案】
，从而确定出函数的单调区间，减
，确定出函数的最小值点，从而求得
，则
的最小值是_____________．
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得区间为
，增区间为
代入求得函数的最小值.
详解：所以当
时函数单调减，当
时函数单调增，
，
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从而得到函数的减区间为函数的增区间为所以当此时所以
时，函数
，
，故答案是
，
，
取得最小值，
.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17. 在平面四边形
（1）求（2）若【答案】 (1) (2)
.
，根据题设条件，求得
；
，之后在
中，用余弦定理得到
，结合角的
中，
，
，
，
.
； ，求.
.
【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到范围，利用同角三角函数关系式，求得(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得所满足的关系，从而求得结果. 详解：（1）在由题设知，由题设知，
中，由正弦定理得
，所以，所以
. .
. .
（2）由题设及（1）知，在
中，由余弦定理得
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2018年高考数学真题解析
. 所以
.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果. 18. 如图，四边形位置，且
.
平面
；
为正方形，
分别为
的中点，以
为折痕把
折起，使点到达点的
（1）证明：平面（2）求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
.
，利
【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又PEF⊥平面ABFD.
平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平面
(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得详解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又又
平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
，得到结果.
，所以BF⊥平面PEF.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点，
的方向为y轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
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2018年高考真题理科数学（全国卷）含解析
