0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y＝f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．
【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM＝0.5，故AM＝1.5，正三角形的边长为
连接BG，可得tan∠BGM＝＝，即∠BGM＝，所以∠BGA＝﹣，由图可
得当x＝时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，
B两个选项；
又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于
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平缓，由此可以排除D，C是适合的； 故选：C．
【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．
15．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝则
关于x的方程6[f（x）]﹣f（x）﹣1＝0的实数根个数为（ ） A．6
B．7
2
2
C．8 D．9
【分析】先设t＝f（x），求出方程6[f（x）]﹣f（x）﹣1＝0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：设t＝f（x），则关于x的方程6[f（x）]﹣f（x）﹣1＝0，等价6t﹣t﹣1＝0， 解得t＝或t＝
，
2
2
当x＝0时，f（0）＝0，此时不满足方程． 若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）＝若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）＝
＝（2＝（2
|x﹣3|
﹣1）， ﹣1），
|x﹣5|
作出当x＞0时，f（x）＝的图象如图：
当t＝时，f（x）＝对应3个交点． ∵函数f（x）是奇函数， ∴当x＜0时，由f（x）＝
，
可得当x＞0时，f（x）＝，此时函数图象对应4个交点， 综上共有7个交点，即方程有7个根． 故选：B．
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【点评】本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 16．（3分）lg2+lg5+π＝ 2 ．
【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解． 【解答】解：lg2+lg5+π ＝lg10+1 ＝2． 故答案为：2．
【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17．（3分）已知tanα＝3，则
＝ ．
00
【分析】直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【解答】解：∵tanα＝3， ∴
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
18．（3分）已知向量，满足||＝2，与的夹角为60°，则在上的投影是 1 ． 【分析】根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞＝
求解．
＝
．
【解答】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞＝2×＝1
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故答案为：1
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用． 19．（3分）若函数f（x）＝2x﹣kx﹣3在区间[﹣2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是 （﹣∞，﹣8]∪[16，+∞） ．
【分析】若函数（fx）＝2x﹣kx﹣3在区间[﹣2，4]上具有单调性，则解得答案；
【解答】解：若函数f（x）＝2x﹣kx﹣3在区间[﹣2，4]上具有单调性， 则
2
22
，
解得k∈（﹣∞，﹣8]∪[16，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣8]∪[16，+∞）
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20．（3分）在△ABC中，已知
，P为线段AB上
的一点，且，则的最小值为 ．
【分析】设AB＝c，BC＝a，AC＝b，由sinB＝cosA?sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C＝90°，再由
，S△ABC＝6，可求得c＝5，b＝3，a＝4，
考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量
，
，
推出x＝3λ，y＝4﹣4λ则4x+3y＝12，而利用
小值．
【解答】解：△ABC中设AB＝c，BC＝a，AC＝b ∵sinB＝cosA?sinC∴sin（A+C）＝sinCcosnA 即sinAcosC+sinCcosA＝sinCcosA
∴sinAcosC＝0∵sinA≠0∴cosC＝0 C＝90° ∵
，S△ABC＝6
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利用基本不等式求解最
∴bccosA＝9，bcsinA＝6
∴tanA＝，根据直角三角形可得sinA＝，cosA＝，bc＝15 ∴c＝5，b＝3，a＝4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 λ≤1） 设
，则|
|＝|
|＝1，
，
＝（3λ，4﹣4λ）（0≤
由
∴x＝3λ，y＝4﹣4λ， 则4x+3y＝12．
＝（x，0）+（0，y）＝（x，y），
（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：
＝
故所求的最小值为故答案为：
．
．
＝
（7+
）≥
，）
【点评】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x＝3λ，y＝4﹣4λ发现4x+3y＝12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．
三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21．已知集合A＝{x|（x+3）（x﹣2）≤0}，B＝{x|1≤x≤4}． （1）求A∩B； （2）求（?RA）∪B．
【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．
（2）求出?UA＝{x|x＜﹣3或x＞2}，由此能求出（?RA）∪B．
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2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷
