函数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、hg

函数复习 二．定义域：

1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。

2．求定义域： 例1设f(x)=lg

例2求下列函数定义域：（1

）f(x)=

变式练习：f(2-x)=

三．值域： 2+xx2，则f()+f()的定义域为__________ 2-x2x2lg(3x+1) （2）f(x)=sinx+log1(25-x2) 24-x2，求f(x)的定义域。 x2-13x1．①y=2 ②y= 2x+4x+1 2． ①y=

xx-1 ②y= x+1x+1

sin2x+7sinx+10x2-5x+4,x∈(1,5] ④y=③y=sinx+1x2-1 3． ①y=-x+ 2x-1 ；

②y=x-4x2

4． ①y=(sinx+3)(cosx+3) ②y=2 x-2x-2 5． ①y=1； 2x+2x+3

②已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积S的最大值。

③y=

cosx-2cosx-1 ④y= cosx-1sinx-2 6．函数f(x)=

123x-x+的定义域和值域都是[1,b](b>1),求b的值。 22

练习：已知二次函数f(x)=ax+bx 满足f(2)=0且方程f(x)=x有等根。

（1）求f(x)的解析式；（2）问是否存在实数m,n(m

[2m,2n]。如存在，求出m,n的值，若不存在说明理由。 答案：(1)f(x)=-

12（2）m=-2,n=0 x+x，2

+∞)已知 f(x)=2+log3x(7．[1，

1≤x≤9)，求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的最值。 81

2x2+bx+c8．已知函数f(x)=（b<0）的值域为[1，3]，求实数b，c的值。 2x+1 2?x≥1，?x+∞)，则g(x)的9．（07浙江理）设f(x)=?g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，x<1，??x值域是（ ）C

-1] [1，∞+) B．(-∞，-1] [0，+∞) C．[0，+∞) A．(-∞， D．

小结：函数值域的计算能力要求高、考查频率高，应该分类归纳，各个击破。难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。 四．单调性：

1．单调性的证明：

（1）定义法：

例 判断函数f(x)=-x3(x∈R)的单调性，并用定义证明。 练习：单调性的简单应用： 例 （1）函数y=log2

0.1(6+x-2x)的单调增区间是________

（2）已知y=loga(2-ax)在[0,1]是减函数，则a的取值范围是_________ 练习：若函数f(x)=logk(x2-kx+3)在区间 ?-∞,k? ?2??上是减函数，则实数k的取值范围是__

__________________

高考真题：已知f(x)=??(3a-1)x+4a,x<1是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是 （

?logax,x>1

2．已知函数f(x)=1-ax2+25(-5≤x≤0)，点(-2,-4)在f(x)的反函数图像上。 （1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）证明f-1(x)在定义域内是减函数。 答案：（1）f-1(x)=-24+2x-x2,x∈[-4,1] ）

111（D）[,1) 737

1解：依题意，有07a－1，当x>1时，3（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,) 13 logax<0，所以7a－1≥0解得x≥ 1故选C 7

例设函数f(x)=lg(x+ax-a-1)，给出下述命题： ①f(x)有最小值；

②当a=0时，f(x)的值域为R；

③当a>0时，f(x)在区间[2,+∞)上有反函数；

④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4

则其中正确的命题是_____________（要求：把正确命题的序号都填上）

例已知函数y=f(x)的图象与函数y=a（a>0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记x2

1g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]．若y=g(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是2 （ ）D

A．[2,+∞) B．(0,1) (1,2) C．[,1) D．(0,]

例 函数f(x)对任意的m,n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且当x>0时，f(x)>1， ⑴求证：f(x)在R上是增函数； ⑵若f(3)=4，解不等式f(a+a-5)<2

五．函数的奇偶性：

常用性质：1．f(x)=0是既奇又偶函数； 2．奇函数若在x=0处有定义，则必有f(0)=0；

3．偶函数满足f(x)=f(-x)=f(x)； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；

5．f(x)=0除外的所有函数奇偶性满足： 奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 21212 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 6．任何函数f(x)可以写成一个奇函数?(x)=

的和。

例 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)f(x)f(-x)是奇函数 (B)f(x)f(-x)是奇函数 (C) f(x)-f(-x)是偶函数 (D) f(x)+f(-x)是偶函数

【解析】A中F(x)=f(x)f(-x)则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，

即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数，B中F(x)=f(x)f(-x)，F(-x)=f(-x)f(x)此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)f(-x)的奇偶性不确定，

C中F(x)=f(x)-f(-x)，F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数，D中F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，故选择答案D。

例 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数. 当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当f(x)-f(-x)f(x)+f(-x)和一个偶函数ψ(x)=22x∈(0,+∞)时，f(x)=解：当x∈(0,+∞) 时，有-x∈(-∞,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 ．从而应填-x-x4．

-2x+b例 已知定义域为R的函数f(x)=x+1是奇函数。 2+a （Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t-2t)+f(2t-k)<0恒成立，求k的取值范围； 22 b-11-2x

=0?b=1∴f(x)=解析：（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 a+2a+2x+1 1

1-2 又由f（1）= -f（-1）知=-?a=2. a+4a+11-

1-2x11 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知f(x)=，易知f(x)在(-∞,+∞)上 =-+2+2x+122x+1 为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t-2t)+f(2t-k)<0

等价于f(t-2t)<-f(2t-k)=f(k-2t)，因f(x)为减函数，由上式推得： 22222 t2-2t>k-2t2．即对一切t∈R有：3t2-2t-k>0， 从而判别式?=4+12k<0?k<-. 13

1.，若f(x)为奇函数，则a=________。 2x+1

111解析：函数f(x)=a-x.若f(x)为奇函数，则f(0)=0，即a-0=0，a=. 22+12+1练习：已知函数f(x)=a-

例 已知f(x)在（－1，1）上有定义，且满足x,y∈(-1,1)有f(x)-f(y)=f( 证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；

例 若奇函数f(x)(x∈R)满足f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)=_______ 六．函数的周期性： （一）要点：

1．（定义）若f(x+T)=f(x)(T≠0)?f(x)是周期函数，T是它的一个周期。 说明：nT也是f(x)的周期

（推广）若f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，b-a是它的一个周期

2．若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，x-y), 1-xy2(b-a)是它的一个周期

（推论）若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期

3． 若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，2(b-a)是它的一个周期

（推论）若定义在R上的奇函数f(x)的图象关于点(a,0) (a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期

4．若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，4(b-a)是它的一个周期

（推论）若定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期 5．若f(x+a)=-f(x)；f(x+a)= 的一个周期

（二）例题讲解：

例1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)= _______________。

解：由f(x+2)=11；f(x+a)=-；则f(x)是周期函数，2a是它f(x)f(x)1，若f(1)=-5,则f(f(5))= fx11=f(x)，所以f(5)=f(1)=-5，则得f(x+4)=fxfx+2f(f(5))=f(-5)=f(-1)= 11=-。 f(-1+2)5

例2 f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x=1对称，对任意x1,x2∈[0,]，有f(x1+x2) 1 2

=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0 ⑴求f()；f()

⑵证明：f(x)是周期函数；

例3 f(x)是定义在R上的奇函数，且对一切x∈R，恒有f(+x)=-f(-x) ⑴求证：f(x)是周期函数；

⑵若f(1)=2，求f(2)+f(3)的值。

例4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B

例5 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px- 为________ 12143232p)(x∈R)，则f(x)的一个正周期2

)=0，则在区间例6 已知定义在R上，最小正周期为5的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，且f(3

(0,10)内，方程f(x)=0的解的个数至少为_________个

例7 定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2+x)=f(2-x)，在区间［-2,0

］上单调递减，设

，则a,b,c的大小顺序为_____________ a=f(-1.5),b=f),c=f(5)

例8 定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)当x∈[0,2]时f(x)=x-2x，则当2 x∈[-4,-2]时,f(x)的最小值是_____________

例9 已知函数y=f(x)是一个以4为最小正周期的奇函数，则f(2)=（ ） A．0 B．－4 C．4 D．不能确定

例10 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)= f.