数列
一、等差数列
题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。
例:等差数列an?2n?1,an?an?1? 题型二、等差数列的通项公式:an?a1?(n?1)d;
说明:等差数列(通常可称为AP数列)的单调性:d?0为递增数列,d?0为常数列,d?0 为递减数列。 例:1.已知等差数列?an?中,a7?a9?16,a4?1,则a12等于( )
A.15 B.30 C.31 D.64
2.{an}是首项a1?1,公差d?3的等差数列,如果an?2005,则序号n等于 (A)667 (B)668 (C)669 (D)670
3.等差数列an?2n?1,bn??2n?1,则an为 bn为 (填“递增数列”或“递减数列”)
题型三、等差中项的概念:
定义:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。其中A? a,A,b成等差数列?A?a?b 2a?b 即:2an?1?an?an?2 (2an?an?m?an?m) 2例:1.设?an?是公差为正数的等差数列,若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80,则a11?a12?a13? ( )
A.120 B.105 C.90 D.75
2.设数列{an}是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A.1 B.2 C.4 D.8
题型四、等差数列的性质:
(1)在等差数列?an?中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列?an?中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列?an?中,对任意m,n?N?,an?am?(n?m)d,d?an?am(m?n);
n?m(4)在等差数列?an?中,若m,n,p,q?N?且m?n?p?q,则am?an?ap?aq; 题型五、等差数列的前n和的求和公式:Sn?(Sn?An?Bn2n(a1?an)1dn(n?1)(a1?)n。?na1?d?n2?2222(A,B为常数)??an?是等差数列 )
(a1?an)n(am?an?(m?1))n? 22递推公式:Sn?
例:1.如果等差数列?an?中,a3?a4?a5?12,那么a1?a2?...?a7?
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35 2.设Sn是等差数列?an?的前n项和,已知a2?3,a6?11,则S7等于( ) A.13 B.35 C.49 D. 63 3.已知?an?数列是等差数列,a10?10,其前10项的和S10?70,则其公差d等于( )
A.?23B.?121 C. D.
3334.在等差数列?an?中,a1?a9?10,则a5的值为( )
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
5.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 6.已知等差数列?an?的前n项和为Sn,若S12?21,则a2?a5?a8?a11? 7.设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a5?5a3则
S9? S58. 设等差数列?an?的前n项和为Sn,若S9?72,则a2?a4?a9=
9.设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an?
10.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=100.,则bn= 11.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{和,求Tn。
Sn}的前n项n,a20?50①求通项an;②若Sn=242,求n 12.等差数列?an?的前n项和记为Sn,已知a10?30
13.在等差数列{an}中,(1)已知S8?48,S12?168,求a1和d;(2)已知a6?10,S5?5,求a8和S8; (3)已知a3?a15?40,求S17
题型六.对于一个等差数列:
(1)若项数为偶数,设共有2n项,则①S偶?S奇?nd; ②
S奇a?n; S偶an?1(2)若项数为奇数,设共有2n?1项,则①S奇?S偶?an?a中;②题型七.对与一个等差数列,Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列。
S奇n。 ?S偶n?1
例:1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为 。
3.已知等差数列?an?的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 4.设Sn为等差数列?an?的前n项和,S4?14,S10?S7?30,则S9= 5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若
S31S=,则6= S63S12D.
A.
311 B. C.
38101 9
题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①定义法:an?1?an?d(常数)(n?N?)??an?是等差数列 ②中项法:2an?1?an?an?2③通项公式法:an?kn?b例:1.已知数列{an}满足an?an?1(n?N?)??an?是等差数列 (k,b为常数)??an?是等差数列
④前n项和公式法:Sn?An2?Bn(A,B为常数)??an?是等差数列
?2,则数列{an}为 ( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}的通项为an?2n?5,则数列{an}为 ( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列{an}的前n项和sn?2n2?4,则数列{an}为( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4.已知一个数列{an}的前n项和sn?2n2,则数列{an}为( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列{an}满足an?2?2an?1?an?0,则数列{an}为( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2
6.设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n,则{an}是( )
A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 7.数列?an?满足a1=8,a4?2,且an?2?2an?1?an?0 (n?N)
? ①求数列?an?的通项公式;
题型九.数列最值
(1)a1?0,d?0时,Sn有最大值;a1?0,d?0时,Sn有最小值;
(2)Sn最值的求法:①若已知Sn,Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值;
2可用二次函数最值的求法(n?N?);②或者求出?an?中的正、负分界项,即: 若已知an,则Sn最值时n的值(n?N?)可如下确定?*
?an?0?an?0或?。
?an?1?0?an?1?01.设{an}(n∈N)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 2.等差数列?an?中,a1?0,S9?S12,则前 项的和最大。 3.已知数列?an?的通项
n?98n?99(n?N?),则数列?an?的前30项中最大项和最小项分别是 4.设等差数列?an?的前n项和为Sn,已知 a3?12,S12?0,S13?0
①求出公差d的范围,
②指出S1,S2,?,S12中哪一个值最大,并说明理由。
5.已知{an}是等差数列,其中a1?31,公差d??8。
(1)数列{an}从哪一项开始小于0?
(2)求数列{an}前n项和的最大值,并求出对应n的值.
6.已知{an}是各项不为零的等差数列,其中a1?0,公差d?0,若S10?0,求数列{an}前n项和的最大值.
7.在等差数列{an}中,a1?25,S17?S9,求Sn的最大值.
(n?1)?S1题型十.利用an??求通项.
S?S(n?2)n?1?n1.设数列{an}的前n项和Sn?n,则a8的值为( )
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
2
数列知识点总结及题型归纳---含答案.
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