第七节 对数与对数函数
[考点要求] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念1
及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，2的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
(对应学生用书第32页)
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：
①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1). (2)换底公式：
logcb
logab＝loga(a，c均大于0且不等于1，b＞0).
c
(3)对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； M
②logaN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). 3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 a＞1 图象 定义域：(0，＋∞) 值域：R 性质 当x＞1时，y＞0 在(0，＋∞)上为增函数 4.反函数 0＜a＜1 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为减函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[常用结论]
1．换底公式的两个重要结论
1n
(1)loga b＝log a；(2)logambn＝mloga b．
b
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0. 2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( ) (2)log2x2＝2log2x.( )
(3)函数y＝ln
1＋x
与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．( ) 1－x
?1??a，－1?，(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，??函数图象不在第二、三象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
1．(log29)·(log34)＝( )
11
A.4 B．2 C．2 D．4
lg 9lg 42lg 32lg 2
D [(log29)·(log34)＝lg 2×lg 3＝lg 2×lg 3＝4.故选D.] 2．已知a＝2
－
111
3，b＝log2，c＝log1，则(
323
)
A．a＞b＞c C．c＞b＞a D [因为
B．a＞c＞b D．c＞a＞b 1
c＞a＞b.故选D.]
0＜a＜1，b＜0，c＝log13＝log2 3＞1.所以
2
log2（2x－1）的定义域是________．
3
3．函数y＝
1
(2，1] [由log2(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.
31
∴2＜x≤1. ∴函数y＝
1
log2（2x－1）的定义域是(2，1]．]
3
4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． (3，1) [当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1).]
(对应学生用书第33页)
考点1 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
11
1.设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m等于( ) A.10 C.20
B．10 D．100
A [由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 1111则a＋b＝logm＋logm 2
5
＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝10.] －1
2．计算：(lg 4－lg 25)÷1002＝________．
1
－20 ＝－20.]
[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100
1
2
1－2
＝lg (22)×10＝lg 10×10＝－2×102×5
（1－log63）2＋log62·log618
3．计算：＝________．
log646
1－2log63＋（log63）2＋log63·log6（6×3）
1 [原式＝
log4
6
1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2＝ log642（1－log63）log66－log63log62＝＝＝log2＝1.]
2log62log626
4．已知log23＝a，3b＝7，则log37221的值为________．
2＋a＋ab
[由题意3b＝7，所以log3 7＝b.
2a＋ab所以
log
2
21＝log2＋a＋ab2a＋ab
log2（22×3×7）log284
84＝log63＝＝22log2（3×7）
3763
2＋log23＋log23·log372log23＋log23·log37
＝
.]
对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公
式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．
考点2 对数函数的图象及应用 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
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(1)(2024·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝ax，y＝loga(x＋2)(a
＞0，且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
1
(2)当0＜x≤2时，4x＜logax，则a的取值范围是( ) 2
A.(0，2)
2
B．(2，1)
2024版新高考数学一轮教师用书：第2章 第7节 对数与对数函数
