2024届新高考数学艺考生总复习第二章函数、导数及其应用第11节利用导数研究函数的单调性冲关训练

第11节 利用导数研究函数的单调性

1．函数y＝(3－x)e的单调递增区间是( ) A．(－∞，0) C．(－∞，－3)和(1，＋∞)

x2

2

xB．(0，＋∞) D．(－3,1)

xx2

解析：D [y′＝－2xe＋(3－x)e＝e(－x－2x＋3)，

由y′>0?x＋2x－3<0?－3

13

2．已知函数f(x)＝x＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的( )

2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

32

解析：A [f′(x)＝x＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R

2上单调递增”的充分不必要条件．]

3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )

2

2

x

A．f(b)>f(c)>f(d) C．f(c)>f(b)>f(a)

B．f(b)>f(a)>f(e) D．f(c)>f(e)>f(d)

解析：C [依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)．]

432

4．(2024·宣城市一模)若函数f(x)＝x－2ax－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则

3实数a的取值范围为( )

A．－1≤a≤2 C．a＞2或a＜－1

解析：D [若函数f(x)有3个单调区间，

B．－2≤a≤1 D．a＞1或a＜－2

则f′(x)＝4x－4ax－(a－2)有2个零点，

故Δ＝16a－16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2，故选D.]

5．(2024·咸阳市一模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R满足f(x)＋f′(x)＜0，则下列结论正确的是( )

A．ef(2)＞ef(3) C．ef(2)≥ef(3)

xx2

3

2

32

2

B．ef(2)＜ef(3) D．ef(2)≤ef(3)

2

3

23

解析：A [令g(x)＝ef(x)，则g′(x)＝e(f(x)＋f′(x))＜0，∴g(x)单调递减，∴

g(2)＞g(3)，

∴ef(2)＞ef(3)，故选A.]

6．(2024·呼和浩特市一模)若函数f(x)＝ln x＋ax－2x在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______．

1

解析：f′(x)＝＋2ax－2，

2

2

3

x若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间， 11

则f′(x)＞0在x∈(1,2)有解，故a＞－2，

x2x11

令g(x)＝－2，∵g(x)在(1,2)为减函数，

x2x1133

∴g(x)＞g(2)＝－＝，故a＞.

2888

?3?答案：?，＋∞?

?8?

7．函数f(x)＝

sin x的单调递增区间是________．

2＋cos x解析：由导函数

f′(x)＝

2＋cos xcos x－sin x2

2＋cos x－sin x＝

2cos x＋112π2π

x＞－，所以2kπ－

2＋cos x2332π2π??的单调递增区间是?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)．

33??

2π2π??答案：?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z) 33??

12

8．已知函数f(x)＝－x＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

23－x＋4x－3

解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－＝

2

xx＝－

x－1

xx－3

，

由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内， 函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调， 由t<1

ln x＋k9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，xe

f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

1

－ln x－kx解：(1)由题意得f′(x)＝， xe1－k又f′(1)＝＝0，故k＝1.

e1

－ln x－1x(2)由(1)知，f′(x)＝. xe

111

设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－2－＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．

xxx由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0； 当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.

综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．

1

10．(2024·齐齐哈尔市一模)已知函数f(x)＝kln x－1＋，且曲线y＝f(x)在点(1，

xf(1))处的切线与y轴垂直．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)＞ax 对0＜x＜1恒成立，求实数a的取值范围．

k1kx－1

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2＝2，∵y＝f(x)在点(1，f(1))

xxx处的切线与y轴垂直，

∴f′(1)＝0，即k＝1，∴f′(x)＝

x－1

， x2

∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．

1f(2)f(x)＝ln x－1＋，∵f(x)＞ax 对0＜x＜1恒成立，∴a＜

xx在(0,1)上恒成立， x设g(x)＝

fxln x11

＝－＋2(0＜x＜1)，则 xxxxxxxxg′(x)＝

1－ln x122x－xln x－2

＋2－3＝， 23

令h(x)＝2x－xln x－2(0＜x＜1)，则

h′(x)＝2－ln x－1＝1－ln x＞0，

∴h(x)在(0,1)上单调递增，∴h(x)＜h(1)＝0， ∴g′(x)＜0，∴g(x)在(0,1)上单调递减， ∴g(x)＞g(1)＝0，∴a≤0.