第二章有限元法的基本原理
有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法
加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1 微分方程的等效积分形式 工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足微分方程组
?A1(u)???A(u)??A2(u)??0 （在?内） （2-1）
?M???域?可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。同时未知函数u还应满足边界条件
?B1(u)???B(u)??B2(u)??0 （在?内） （2-2）
?M???
要求解的未知函数u可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。A，B是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）
的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：
A(?)???????(k)?(k)?q?0 （在?内） （2-3） ?x?x?y?y?????0?B(?)?????q?0?k??n（在??上）（在?q上） （2-4）
这里?表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/?）；?和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界?的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
在上述问题中，若k和q只是空间位置的函数时，问题是线性的。若k和q是?及其导数的函数时，问题则是非线性的。
由于微分方程组（2-1）在域?中每一点都必须为零，因此就有
?其中
?VTA(u)d???(v1A1(u)?v2A2(u)?L)d??0 （2-5）
??v1???V??v2? （2-6）
?M???其中V是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。
式（2-5）是与微分方程组（2-1）完全等效的积分形式。我们可以说，若积分方程对于任意的V都能成立，则微分方程（2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条件（2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立
?VB(u)d???(vB(u)?vB(u)?L)d??0
??1122因此积分形式
??VTA(u)d???VTB(u)d??0
?对于所有的V和V都成立是等效于满足微分方程（2-1）和边界条件（2-2）。我们把（2-7）式称为微分方程的等效积分形式。 2.1.2等效积分的“弱”形式
在一般情况下，对（2-7）式进行分部积分得到另一种形式：
??CT(v)D(u)d???ET(v)F(u)d??0 （2-8）
?其中C，D，E，F是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（2-7）式的低，这样对函数u只需要求较低阶的连续性就可以了。在（2-8）式中降低连续性要求是以提高V和V的连续性要求为代价的，由于原来对V和V（在（2-7）式中）并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。（2-8）式称为微分方程
（2-1）和边界条件（2-2）式的等效积分“弱”形式。值得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了，但对实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了过分“平滑”的要求。
2.1.3 加权余量法
在求解域?中，若场函数u是精确解，则在域?中任一点都满足微分方程（2-1）式，同时在边界? 上任一点都满足边界条件（2-2）式，此时等效积分形式（2-7）式或（2-8）式必然严格地得到满足。但是对于复杂的实际问题，这样的精确解往往是很难找到的，因此人们需要设法找到具有一定精度的近似解。
对于微分方程（2-1）式和边界条件（2-2）式所表达的物理问题，未知场函数u可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是
u?u??Niai?Na （2-9）
i?1n其中，ai是待定参数；Ni是试探函数（或称基函数、形函数），为已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。所谓完全的函数系列是指任一函数都可以用此序列表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数u是压力时，可取近似解
u?N1u1?N2u2?L?Nnun??Niui
i?1n其中ai是待定参数，共有n个。
显然，在通常n取有限项数的情况下近似解是不能精确满足微分方程（2-1）式和边界条件（2-2）的，它们将产生残差R及R
A(Na)?R;BA(Na)?R
残差R及R亦称为余量。在（2-7）式中我们用个规定的函数来代替任意函数v及v，即
u?N1u1?N2u2?L?Nnun??Niui
i?1n可以得到近似的等效积分形式
?WA(Na)d???WB(Na)d??0?j?j(j?1~n) （2-10）
亦可以写成余量的形式
?WRd???WRd??0?j?j(j?1~n) （2-11）
（2-10）式或（2-11）式的意义是通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意义下等于零。Wj和Wj称为权函数。余量的加权积分为零就得到了一组求解方程，用以求解近似解
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