第二章有限元法的基本原理
有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核,又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理,因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法
加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法,同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中,加权余量法可以被用于建立有限元方程,但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1 微分方程的等效积分形式 工程或物理学中的许多问题,通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的,可以一般地表示为未知函数u应满足微分方程组
?A1(u)???A(u)??A2(u)??0 (在?内) (2-1)
?M???域?可以是体积域、面积域等,如图2-1所示。同时未知函数u还应满足边界条件
?B1(u)???B(u)??B2(u)??0 (在?内) (2-2)
?M???
要求解的未知函数u可以是标量场(例如压力或温度),也可以是几个变量组成的向量场(例如位移、应变、应力等)。A,B是表示对于独立变量(例如空间坐标、时间坐标等)
的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应,因此,上述微分方程可以是单个的方程,也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例,其控制方程和定解条件如下:
A(?)???????(k)?(k)?q?0 (在?内) (2-3) ?x?x?y?y?????0?B(?)?????q?0?k??n(在??上)(在?q上) (2-4)
这里?表示温度(在渗流问题中对应压力);k是流度或热传导系数(在渗流问题中对应流度K/?);?和q是边界上温度和热流的给定值(在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速);n是有关边界?的外法线方向;q是源密度(在渗流问题中对应井的产量)。
在上述问题中,若k和q只是空间位置的函数时,问题是线性的。若k和q是?及其导数的函数时,问题则是非线性的。
由于微分方程组(2-1)在域?中每一点都必须为零,因此就有
?其中
?VTA(u)d???(v1A1(u)?v2A2(u)?L)d??0 (2-5)
??v1???V??v2? (2-6)
?M???其中V是函数向量,它是一组和微分方程个数相等的任意函数。
式(2-5)是与微分方程组(2-1)完全等效的积分形式。我们可以说,若积分方程对于任意的V都能成立,则微分方程(2-1)必然在域内任一点都得到满足。同理,假如边界条件(2-2)亦同时在边界上每一点都得到满足,对于一组任意函数,下式应当成立
?VB(u)d???(vB(u)?vB(u)?L)d??0
??1122因此积分形式
??VTA(u)d???VTB(u)d??0
?对于所有的V和V都成立是等效于满足微分方程(2-1)和边界条件(2-2)。我们把(2-7)式称为微分方程的等效积分形式。 2.1.2等效积分的“弱”形式
在一般情况下,对(2-7)式进行分部积分得到另一种形式:
??CT(v)D(u)d???ET(v)F(u)d??0 (2-8)
?其中C,D,E,F是微分算子,它们中所包含的导数的阶数较(2-7)式的低,这样对函数u只需要求较低阶的连续性就可以了。在(2-8)式中降低连续性要求是以提高V和V的连续性要求为代价的,由于原来对V和V(在(2-7)式中)并无连续性要求,但是适当提高对其连续性的要求并不困难,因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中,尤其是在有限单元法中是十分重要的。(2-8)式称为微分方程
(2-1)和边界条件(2-2)式的等效积分“弱”形式。值得指出的是,从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了,但对实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解,因为原始微分方程往往对解提出了过分“平滑”的要求。
2.1.3 加权余量法
在求解域?中,若场函数u是精确解,则在域?中任一点都满足微分方程(2-1)式,同时在边界? 上任一点都满足边界条件(2-2)式,此时等效积分形式(2-7)式或(2-8)式必然严格地得到满足。但是对于复杂的实际问题,这样的精确解往往是很难找到的,因此人们需要设法找到具有一定精度的近似解。
对于微分方程(2-1)式和边界条件(2-2)式所表达的物理问题,未知场函数u可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数,一般形式是
u?u??Niai?Na (2-9)
i?1n其中,ai是待定参数;Ni是试探函数(或称基函数、形函数),为已知函数,它取自完全的函数序列,是线性独立的。所谓完全的函数系列是指任一函数都可以用此序列表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数u是压力时,可取近似解
u?N1u1?N2u2?L?Nnun??Niui
i?1n其中ai是待定参数,共有n个。
显然,在通常n取有限项数的情况下近似解是不能精确满足微分方程(2-1)式和边界条件(2-2)的,它们将产生残差R及R
A(Na)?R;BA(Na)?R
残差R及R亦称为余量。在(2-7)式中我们用个规定的函数来代替任意函数v及v,即
u?N1u1?N2u2?L?Nnun??Niui
i?1n可以得到近似的等效积分形式
?WA(Na)d???WB(Na)d??0?j?j(j?1~n) (2-10)
亦可以写成余量的形式
?WRd???WRd??0?j?j(j?1~n) (2-11)
(2-10)式或(2-11)式的意义是通过选择待定系数ai,强迫余量在某种平均意义下等于零。Wj和Wj称为权函数。余量的加权积分为零就得到了一组求解方程,用以求解近似解
(完整版)有限元法的基本原理
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