第22讲圆的基本性质
1．圆的有关概念
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定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，
圆的定义
一个端点所形成的图形叫做圆．定义2：圆是到定点的距离
弦直径
连结圆上任意两点的直径是经过圆心的
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有
弧
够完全重合的弧叫做
等圆同心圆2.圆的对称性
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圆的对称
性圆心角、
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量
弧、弦之
那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
间的关系3.圆周角
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圆周角的
顶点在圆上，并且
都和圆相交的角叫做圆周角．
b
，
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆是中心对称图形，对称中心为
____________________.
c
的直线．
____________________.
a
能够重合的两个圆叫做等圆圆心相同的圆叫做同心圆．
.
定长的所有点组成的图形．叫做弦．，是圆内最
的弦．
b
另
____________________之分，能
定义圆周角定
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
理推论1
同弧或等弧所对的圆周角半圆(或直径)所对的圆周角是
推论2
是
推论3
圆内接四边形的对角
．
．．
c
；90°的圆周角所对的弦
．
4.点与圆的位置关系
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位置关系数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为
_________________
r，点到圆心的距离
为d)
_________________
_____________
b
点在圆内
点在圆上
点在圆外
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分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的
基本思想
条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．辅助线：
有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．
基本方法
c
︵︵
1．(2016·绍兴)如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，AB＝BC，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(
)
A．60°B．45°C．35°D．30°
)
2．(2015·宁波)如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为(
A．15°B．18°C．20°D．28°A在⊙O上，边
3．(2017·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点
AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为____________________．
第3题图第4题图
O，交BC于点
4．(2017·湖州)如图，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆︵
D.若∠BAC＝40°，则AD的度数是____________________度．
【问题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE是直径．
(1)观察图形，你能得到哪些信息？
︵
(2)若∠ADC＝130°，则∠B＝______，∠AOC＝______，AE的度数为____；(3) 若AC＝6，AO＝5，则AE＝________．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．
类型一
例1
圆的有关概念
下列语句中，正确的是
__________________．
③相等的圆心角所对的弧相等；
④圆是轴对称图
⑥三个点确
9cm，则
①半圆是弧；②长度相等的弧是等弧；形，任何一条直径所在直线都是对称轴；
⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；
定一个圆；⑦直径是圆中最长的弦；⑧一个点到圆的最小距离为该圆的半径是
6cm，最大距离为
1.5cm或7.5cm；⑨⊙A的半径为6，圆心A(3，5)，则坐标原点O在⊙A内．
【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，心角所对的弧相等．
需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆
1．(1)A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦A．AB>0
(2)下列说法中，正确的是
(
B．0 AB的取值范围是() C．0 A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B．相等圆周角所对弧相等C．正多边形一定是轴对称图形 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等(3) (2017·河北模拟)如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半 径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆 外，则r的取值范围是____________________． 类型二 例2F. 圆的内接多边形 ABCD两组对边的延长线分别交于点 E、 (2017·陕西模拟)如图，⊙O的内接四边形 (1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数； (3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小． 【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相 在应用时要注意是对 等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．角，而不是邻角互补． 2．(1)(2015杭州·)圆内接四边形A．20°(2)小为( 如图，四边形) ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( C．70° ) B．30°D．110° ADC的大 ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ A．45°B．50°C．60°D．75° (3)(2015南京·)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝
2024年浙江省中考数学《第22讲：圆的基本性质》总复习讲解
