第22讲圆的基本性质
1.圆的有关概念
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要求
定义1:在一个平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,
圆的定义
一个端点所形成的图形叫做圆.定义2:圆是到定点的距离
弦直径
连结圆上任意两点的直径是经过圆心的
圆上任意两点间的部分叫做弧,弧有
弧
够完全重合的弧叫做
等圆同心圆2.圆的对称性
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圆的对称
性圆心角、
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量
弧、弦之
那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
间的关系3.圆周角
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圆周角的
顶点在圆上,并且
都和圆相交的角叫做圆周角.
b
,
圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条经过圆是中心对称图形,对称中心为
____________________.
c
的直线.
____________________.
a
能够重合的两个圆叫做等圆圆心相同的圆叫做同心圆.
.
定长的所有点组成的图形.叫做弦.,是圆内最
的弦.
b
另
____________________之分,能
定义圆周角定
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
理推论1
同弧或等弧所对的圆周角半圆(或直径)所对的圆周角是
推论2
是
推论3
圆内接四边形的对角
.
..
c
;90°的圆周角所对的弦
.
4.点与圆的位置关系
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要求
位置关系数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为
_________________
r,点到圆心的距离
为d)
_________________
_____________
b
点在圆内
点在圆上
点在圆外
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要求
分类讨论思想:在很多没有给定图形的题目中,常常不能根据题目的
基本思想
条件把图形确定下来,因此会导致解的不唯一性.对于这种多解题必须要分类讨论,分类时要注意标准一致,不重不漏.如:圆周角所对的弦是唯一的,但是弦所对的圆周角不是唯一的.辅助线:
有关直径的问题,如图,常作直径所对的圆周角.
基本方法
c
︵︵
1.(2016·绍兴)如图,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,AB=BC,∠AOB=60°,则∠BDC的度数是(
)
A.60°B.45°C.35°D.30°
)
2.(2015·宁波)如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72°,则∠BCO的度数为(
A.15°B.18°C.20°D.28°A在⊙O上,边
3.(2017·绍兴)如图,一块含45°角的直角三角板,它的一个锐角顶点
AB,AC分别与⊙O交于点D,E,则∠DOE的度数为____________________.
第3题图第4题图
O,交BC于点
4.(2017·湖州)如图,已知在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆︵
D.若∠BAC=40°,则AD的度数是____________________度.
【问题】如图,四边形ABCD内接于⊙O,CE是直径.
(1)观察图形,你能得到哪些信息?
︵
(2)若∠ADC=130°,则∠B=______,∠AOC=______,AE的度数为____;(3) 若AC=6,AO=5,则AE=________.
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理圆的有关性质,弦、弧、圆心角的关系定理及推论,圆周角定理,圆的内接四边形等.
类型一
例1
圆的有关概念
下列语句中,正确的是
__________________.
③相等的圆心角所对的弧相等;
④圆是轴对称图
⑥三个点确
9cm,则
①半圆是弧;②长度相等的弧是等弧;形,任何一条直径所在直线都是对称轴;
⑤经过圆内一定点可以作无数条直径;
定一个圆;⑦直径是圆中最长的弦;⑧一个点到圆的最小距离为该圆的半径是
6cm,最大距离为
1.5cm或7.5cm;⑨⊙A的半径为6,圆心A(3,5),则坐标原点O在⊙A内.
【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误,心角所对的弧相等.
需要辨析,如在同圆或等圆中,相等的圆
1.(1)A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点,则弦A.AB>0
(2)下列说法中,正确的是
(
B.0 AB的取值范围是() C.0 A.同一条弦所对的两条弧一定是等弧B.相等圆周角所对弧相等C.正多边形一定是轴对称图形 D.三角形的外心到三角形各边的距离相等(3) (2017·河北模拟)如图,在矩形 ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半 径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆 外,则r的取值范围是____________________. 类型二 例2F. 圆的内接多边形 ABCD两组对边的延长线分别交于点 E、 (2017·陕西模拟)如图,⊙O的内接四边形 (1)若∠E=∠F时,求证:∠ADC=∠ABC;(2)若∠E=∠F=42°时,求∠A的度数; (3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小. 【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的性质是沟通角相 在应用时要注意是对 等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.角,而不是邻角互补. 2.(1)(2015杭州·)圆内接四边形A.20°(2)小为( 如图,四边形) ABCD中,已知∠A=70°,则∠C=( C.70° ) B.30°D.110° ADC的大 ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ A.45°B.50°C.60°D.75° (3)(2015南京·)如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=