2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷（全国Ⅰ卷)
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.若z?1?i,则z2?2z?( ) A.0
2.设集合A?xx2?4?0，B??x2x?a?0?，且A?B??x?2?x?1?，则a?( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
?B.1
?C.2 D.2
A.5?1 4B.5?1 2C.5?1 4D.5?1 24.已知A为抛物线C:y2?2px(p?0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p?( ) A.2
B.3
C.6
D.9
π5.设函数f(x)?cos(?x?)在??π,π?的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
6
A.10π 9B.
7π 6C.
4π 3D.
3π 2y26.(x?)(x?y)5的展开式中x3y3的系数为( )
xA. 5
B. 10
C. 15
D. 20
7.已知??(0,?)，且3cos2??8cos??5，则sin??( )
5521 B. C. D. 39338.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为
A.4π,AB?BC?AC?OO1,则球O的表面积为( )
A.64π B.48π C.36π 9.已知M:x2?y2?2x?2y?2?0，直线l:2xy2D.32π
0，P为l上的动点，过点P作⊙M
的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|?|AB|最小时，直线AB的方程为( ) A.2x?y?1?0
B.2x?y?1?0
C.2x?y?1?0
D.2x?y?1?0
10.若2a?log2a?4b?2log4b，则( ) A.a?2b 二、填空题
?2x?y?2?0,?11.若x,y满足约束条件?x?y?1?0,则z?x?7y的最大值为____________.
?y?1?0,?B.a?2b C.a?b2 D.a?b2
12.设a,b为单位向量，且|a?b|?1，则|a?b|?___________.
22xy13.已知F为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，
ab且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
14.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC?1，AB?AD?3，AB?AC，AB?AD，
?CAE?30?，则cos?FCB?______________.
三、解答题
15.设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比；
(2)若a1?1，求数列{nan}的前n项和.
16.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE?AD.ABC是底面的
6DO. 内接正三角形，P为DO上一点，PO?6
(1)证明：PA?平面PBC； (2)求二面角B?PC?E的余弦值.
17.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.
1. 2x218.已知A,B分别为椭圆E:2?y2?1?a?1?的左、右顶点，G为E的上顶点，AG?GB?8，
aP为直线x?6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点. 19.已知函数f(x)?ex?ax2?x. (1)当a?1时，讨论f?x?的单调性； (2)当x?0时，f?x??13x?1，求a的取值范围. 2k??x?cost,t20.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(为参数).以坐标原点为极点，x轴k??y?sint正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4?cos??16?sin??3?0. (1)当k?1时，C1是什么曲线？
(2)当k?4时，求C1与C2的公共点的直角坐标.
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷(全国Ⅰ卷)
