第14讲 周期函数与周期数列
本节主要内容有周期；周期数列、周期函数． 周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和． 作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期．
如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期． 1．若f (x＋T)=－f ( x)，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x) 证明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=－ f(x＋T)= f ( x)， 由周期函数的性质可得f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)
1
2．若f (x＋T)=±，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)．
f ( x)仅以f (x＋T)=
1
证明如下： f ( x)
1
= f ( x)．由周期函数的性质可得f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)
f ( x+T)
f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=
3．在数列?an?中，如果存在非零常数T，使得am?T?am对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列?an?为周期数列，其中T叫数列?an?的周期．
A类例题 例1（2001年上海春季卷） 若数列{an}前8项的值各异，且an?8?an对任意的n?N都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为 （ ） A．{a2k?1}
B．{a3k?1}
C．{a4k?1} D．{a6k?1}
＋
解析 由数列{an}前8项的值各异，an?8?an对任意n∈N都成立，
得数列{an}的周期T= 8，则问题转化为2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中k= 1，2，3，…代入
被8除若余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7即为答案． 经检验3k ＋ 1可以，故{a3k?1}可取遍{an}的前8项值．答案为B．
说明 本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中，2k＋1， 4k＋1， 6k＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k＋1除8后余数能取到0， 1， 2， 3，
4， 5，6， 7．
例2 定义在R上的奇函数且f ( x＋2)=f ( x－2)，且f (1)= 2则f ( 2)＋f (7)= ．
解 因为f ( x＋2)=f ( x－2)，知f(x＋2T)= f ( x)．即f(x＋4)= f ( x)． 所以f(7)= f ( 3＋4)= f(－1＋4)= f ( －1)=－ f ( 1)=－2． f(－2)= f ( －2＋4)= f(2)
所以f(2)=0． 从而f ( 2)＋f (7)=－2． 链接若f (x＋T)=±f ( x－T)， ①f (x＋T)=f ( x－T)，2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x) 证明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=f(x＋T－T)= f ( x) ②f (x＋T)=－f ( x－T)，4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x) 证明：f(x＋2T)= f(x＋T＋T)=－ f[(x＋T)－T]=－ f ( x) 所以由(一)可得f(x＋4T)= f ( x)． 情景再现
1．已知函数f(x)对任意实数x，都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x)，求证:2|a－b|是f(x)的一个周期．(a≠b)2． 已知数列{xn}满足x1=1，x2=6，xn?1?xn?xn?1(n≥2)，求x2006及S2006．
B类例题 例3定义在R上的奇数满足 f (1＋x)=f (1－x)，当x??4,5?时， f ( x)=2x4，则x?[?1,0)时f
－
( x)=
因为f (1＋x)=f (1－x)， f (x)=f (－x)，知f(x＋4)= f ( x)， 故当x?(0,1]时， x＋4??4,5?， f ( x)= f(x＋4)= 2x
＋4－4
=2x．
－
又x?[?1,0)时，即－x?(0,1]，所以f ( x)=－f ( －x)=－ 2x(x?[?1,0)) 链接：若f (T ＋x)=±f (T －x)， (1) f (T ＋x)=f (T －x) ①若f ( x)是偶函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2T)= f ( x) ②若f ( x)是奇函数，则4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x) (2) f (T ＋x)=－f (T －x) ①若f ( x)是偶函数，则4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x) ②若f ( x)是奇函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2T)= f ( x) 例4设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a>0． (1)求f(
1］，211)、f(); 24(2)证明f(x)是周期函数； (3)记an=f(2n＋
1)，求lim(lnan).（2001年全国高考题）
n??2n分析 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运
算能力和逻辑思维能力． 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)找
到问题的突破口．由f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)变形为f(x)?f(?)?f()?f()?f()是解决问题的关键．
解 (1) 因为对x1，x2∈［0，］，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，所以f(x)=f(?)?f()≥0，x∈［0，1］
x2x2x2x2x212x2x2x211111＋)=f()·f()=［f()］2 22222111111f()=f(＋)=f()·f()=［f（）］2 244444又因为f(1)=f(又f(1)=a>0
111∴f()=a2，f()=a4
241(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1＋1－x)，即f(x)=f(2－x)，x∈R． 又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R， ∴f(－x)=f(2－x)，x∈R．
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x＋2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
(3)解：由(1)知f(x)≥0，x∈［0，1］
∵f(
111111)=f(n·)=f(＋(n－1) )=f()·f((n－1)·) 22n2n2n2n2n1=……
1111=f()·f()·……·f()=［f()］n=a2 2n2n2n2n1∴f()=a2n．
2n又∵f(x)的一个周期是2
111∴f(2n＋)=f()，因此an=a2n
2n2n∴lim(lnan)?lim(n??n??11lna)?0. 2n例5(1997年全国高中数学联赛)已知数列{xn}满足xn?1?xn?xn?1(n≥2)，x1?a， x2?b， 记Sn?x1＋x2＋?＋xn，则下列结论正确的是 ( )A． x100??a，S100=2b?aB．x100??b，S100?2b?a Cx100??b，S100=b?aD．x100??a，S100?b?a
解 因为xn?1?xn?xn?1=(xn?1?xn?2)?xn?1??xn?2，于是得xn?6??xn?3?xn所以数列{xn}是周期数列，
其周期为6k(k∈Z)，且x1＋x2＋?＋x6=0，x100=x4=－x1 =－a．故S100?16(x1＋x2＋?
＋x6)＋x97＋x98＋?＋x99＋x100= x1＋x2＋ x3＋x4=x2＋x3=2b－a．
例6设数列 a1，a2，a3，…，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数n都有an·an＋1 ·an＋
an＋1 ·an＋2an＋3=an＋an＋1 ＋an＋2＋an＋3，求a1＋a2 ＋a3＋…＋a100． 2≠1，an·
解 由an·an＋1 ·an＋2an＋3=an＋an＋1 ＋an＋2＋an＋3， ①
得an＋1·an＋2 ·an＋3an＋4=an＋1＋an＋2 ＋an＋3＋an＋4， ②
两式相减得：(an－an＋4)·(an＋1＋an＋2an＋3－1)=0， 由于an＋1＋an＋2an＋3≠1，所以an＋4=an．
又a1=a2=1，a3=2，由①得2a4=4＋a4 ，所以a4=4．
故 a1＋a2 ＋a3＋a4=8，于是a1＋a2 ＋a3＋…＋a100=25(a1＋a2 ＋a3＋a4)=200．
情景再现
3．设f(x)是定义在区间(－∞，＋∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时f(x)=x2． (Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式;
(Ⅱ)对自然数k，求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}．
234．(2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点P2(2,2)，P3(3,2)，…，1(1,2)，PPn(n,2n)，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关
于点P2的对称点，……，An为An?1关于点Pn的对称点．
(1)求向量A0A2的坐标；
(2)当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y?f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x??0,3?时，f(x)?lgx，求以曲线C为图象的函数在?1,4?的解析式；
对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标
C类例题 例7 ．(2005年广东卷19)设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)?f(3)?0. （Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f(x)?0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．
?f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)???f(4?x)?f(14?x) 解 （Ⅰ）由?f(7?x)?f(7?x)f(x)?f(14?x)???f(x)?f(x?10)，从而知函数y?f(x)的周期为T?10
又f(3)?f(1)?0,而f(7)?0，
f(?3)?f(?3?10)?f(7)?0，所以f(?3)??f(3)
故函数y?f(x)是非奇非偶函数;
(II) 又f(3)?f(1)?0,f(11)?f(13)?f(?7)?f(?9)?0
故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有有两个解，从而可知函数y?f(x)在[0，2005]上有402个解，在[－2005．0]上有400个解，所以函数y?f(x)在[－2005，2005]上有802个解． 链接若f (a＋x)=±f (a －x)，且f (b＋x)=±f (b －x)，(a≠b) (1)若f (a＋x)=f (a －x)，且f (b＋x)=f (b －x)，或f (a＋x)=－f (a －x)，且f (b＋x)=－f (b －x)， 则2(b－a)是f ( x)的周期，即f[x＋2( b－a)]= f ( x) 证明：因为f (2a＋x)=f [a＋(a ＋x)]=f (2a－x)=f (－x)， 同理f (2b＋x) =f (－x)， 因为f[x＋2( b－a)]= f[2b＋(x－2a)]= f[(x－2a)]= f ( x) 或f (2a＋x)=f [a＋(a ＋x)]=－f [a－(a－x)]=－f (－x)， 同理f (2b＋x) =－f (－x)， 因为f [x＋2(b－a)] = f [2b＋(x－2a) =－ f [2a＋(－x)] = f (x)． (2)若f (a＋x)=f (a －x)，且f (b＋x)=－f (b －x)，或f (a＋x)=－f (a －x)，且f (b＋x)=f (b －x)， 则4(b－a)是f ( x)的周期，即f[x＋4( b－a)]=－ f (－x)．(证明留给读者完成) 例8数列{ an }满足 an = an－1－ an－2 (n ≥3)．如果它的前1492项之和是1985， 而它的前1985项之和是1492．那么前2 001项的和是多少? (1985年中美数学邀请赛复赛试题)
解因为an = an－1－ an－2 =( an－2－ an－3 )－ an－2 =－ an－3
同理an－3=－ an－6 所以an = an－6
故数列{ an }是周期数列．其周期为6． 且f( n)=f( 6k＋n)， (k∈N)． Sn= an＋an－1＋an－2＋?＋a1， 且an = an－1－ an－2 (n ≥3)
所以Sn=( an－1－ an－2)＋( an－2－ an－3)＋ ( an－3－ an－4)＋…＋ ( a2 –a1) ＋ a2＋a1 = an－1＋ a2 (n ≥3)
因此S1492= a1491＋ a2= a248×6＋3＋ a2= a3＋ a2=1985，
S1985= a1984＋ a2= a330×6＋4＋ a2= a4＋ a2= a3=1492． 由以上两式得a2=493，
所以S2001= a2000＋ a2= a333×6＋2＋ a2= a2＋ a2=986．
情景再现
5．已知f (x)是定义在R上的函数f (10＋ x)= f (10－ x)， f (20＋ x)= f(20－ x)． 则f (x)是( )．
A．周期为20的奇函数
数学竞赛《提优教程》教案：第33讲__周期函数与周期数列
