第4讲 基本不等式
一、选择题
4
1．若x＞0，则x＋的最小值为( )．
xA．2 B．3
4
C．22 D．4
解析 ∵x＞0，∴x＋≥4.
x答案 D
14
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )．
ab7
A. 2
B．4 1
4
9
C.
2
D．5
1?14?1??b4a??1?
解析 依题意得＋＝?＋?(a＋b)＝?5＋?＋??≥?5＋2
ab2?ab?2??ab??2?b4a?
×?ab?
a＋b＝2??b4a9
＝，当且仅当?＝
ab2
??a＞0，b＞0
2
，即a＝，
3
4149b＝时取等号，即＋的最小值是. 3ab2答案 C
3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a ( )． A．a B．v＝ab a＋b D．v＝2 解析 设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a 2ss＝2ab2ab <＝ab. a＋b2ab a＋b ab－a2a2－a22ab 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. a＋ba＋ba＋b答案 A 4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )． A.＋有最大值4 1 1 ab 1 B．ab有最小值 4 D．a2＋b2有最小值 2 2 C.a＋b有最大值2 解析 由基本不等式，得ab≤1 a2＋b2 2 ＝a＋b2 2 －2ab1 ，所以ab≤，故B错； 4 1a＋b1a＋b＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ababab2 a＋b2 ＝ 1 ，2 11 即a＋b≤ 2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝， 42故D错． 答案 C 21 5．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 ( )． A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) C．(－2,4) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－4,2) 21 解析 ∵x>0，y>0且x＋y＝1， 4yx?21? ＋∴x＋2y＝(x＋2y)?xy?＝4＋x＋y ??≥4＋2 4yx4yx·＝8，当且仅当xyx＝y， 即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4 6．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝ 8 (m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从2m＋1 左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.b 记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，a的最小值为 ( )． 3D．44 A．162 B．82 3 C．84 解析 如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且bxB－xDxC－xA与xB－xD同号，所以a＝， xC－xA 根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－ m 8 ，2m＋1 888mm 2－22－22－2 2m＋12m＋12m＋18bm xB＝2，xD＝2，所以a＝＝1 81＝m8＝2m＋1－m 2－－2 8－2m2－22m＋12m＋1 2 2m＋18 2m·2 2m＋12 2m＋11888178 ＋m，由于＋m＝＋2－2≥4－2＝2，当且仅当2m＋12m＋12m＋12m＋12m＋13b7 ，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为222a2＝82. ＝ 答案 B 二、填空题 7．设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________． 33?2x＋y?25 ??，得(2x＋解析 依题意有(2x＋y)＝1＋3xy＝1＋2×2x×y≤1＋2·8?2? 2 21010210 y)2≤1，即|2x＋y|≤5.当且仅当2x＝y＝5时，2x＋y取最大值5. 答案 2105
高考数学(人教a版,理科)题库：基本不等式(含答案)
