课题:§1.1 集合
教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方
面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。
课 型:新授课
教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
教学重点:集合的基本概念与表示方法;
教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题
军训前学校通知:8月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容 二、新课教学
(一)集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到
这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),
也简称集。
3. 思考1:课本P3的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学
生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征
(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样 5. 元素与集合的关系;
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a∈A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作a?A(或a A)(举例)
?
6. 常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集),记作N 正整数集,记作N*或N+; 整数集,记作Z 有理数集,记作Q 实数集,记作R
(二)集合的表示方法
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我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…; 例1.(课本例1) 思考2,引入描述法
说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 (2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?; 例2.(课本例2)
说明:(课本P5最后一段) 思考3:(课本P6思考)
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z。
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (三)课堂练习(课本P6练习) 三、归纳小结
本节课从实例入手,非常自然贴切地引出集合与集合的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明,然后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。 四、作业布置
书面作业:习题1.1,第1- 4题
课题:§1.2集合间的基本关系
教材分析:类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课 型:新授课
教学目的:(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;
(2)理解子集、真子集的概念;
(3)能利用Venn图表达集合间的关系; (4)了解与空集的含义。
教学重点:子集与空集的概念;用Venn图表达集合间的关系。
教学难点:弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别; 教学过程: 五、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白: (1)0 N;(2)2 Q;(3)-1.5 R
2、类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣
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布课题) 六、新课教学
(一) 集合与集合之间的“包含”关系;
A={1,2,3},B={1,2,3,4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A;
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作:A?B(或B?A)
读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A 当集合A不包含于集合B时,记作A ? B 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
B A
A?B(或B?A)
(二) 集合与集合之间的 “相等”关系;
A?B且B?A,则A?B中的元素是一样的,因此A?B
?A?B即 A?B??
B?A?练习
结论:
任何一个集合是它本身的子集
(三) 真子集的概念
若集合A?B,存在元素x?B且x?A,则称集合A是集合B的真子集(proper
subset)。
记作:A B(或B A)
读作:A真包含于B(或B真包含A) 举例(由学生举例,共同辨析)
(四) 空集的概念
(实例引入空集概念) 不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:? 规定: 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 (五) 结论:
1A?A 2A?B,且B?C,则A?C ○○
(六) 例题
(1)写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 (2)化简集合A={x|x-3>2},B={x|x?5},并表示A、B的关系;
(七) 课堂练习
(八) 归纳小结,强化思想
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两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法;
(九) 作业布置
1、 书面作业:习题1.1 第5题 2、 提高作业:
1 已知集合A?{x|a?x?5},B?{x|x≥2},且满足A?B,求实数a○
的取值范围。
2 设集合A?{○四边形},B?{平行四边形},C?{矩形},
D?{正方形},试用Venn图表示它们之间的关系。
课题:§1.3集合的基本运算
教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型:新授课
教学重点:集合的交集与并集、补集的概念;
教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”; 教学过程: 七、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合是否也可以“相加”呢?
思考(P9思考题),引入并集概念。 八、新课教学 1. 并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集(Union) 记作:A∪B 读作:“A并B”
即: A∪B={x|x∈A,或x∈B}
B Venn图表示: A
A与B的所有元素组成的集合说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A∪B (重复元素只看成一个元素)。
? 例题(P9-10例4、例5)
说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合A与B的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的,我们称其为集合A与B的交集。 2. 交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集(intersection)。 记作:A∩B 读作:“A交B” 即: A∩B={x|∈A,且x∈B} 第 4 页 共 54 页 交集的Venn图表示
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合。 例题(P9-10例6、例7)
拓展:求下列各图中集合A与B的并集与交集
B A B B A(B) A A B A 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集 3. 补集
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(Universe),通常记作U。
补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U且x∈A} 补集的Venn图表示
说明:补集的概念必须要有全集的限制 例题(P12例8、例9)
4. 求集合的并、交、 补是集合间的基本运算,运算结果
U仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,
在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发
去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5. 集合基本运算的一些结论:
A∩B?A,A∩B?B,A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A A?A∪B,B?A∪B,A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A
UACA(CUA)∪A=U,(CUA)∩A=? 若A∩B=A,则A?B,反之也成立 若A∪B=B,则A?B,反之也成立
若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B 若x∈(A∪B),则x∈A,或x∈B 6. 课堂练习
(1)设A={奇数}、B={偶数},则A∩Z=A,B∩Z=B,A∩B=? (2)设A={奇数}、B={偶数},则A∪Z=Z,B∪Z=Z,A∪B=Z
(3)集合A?{n|nm?1?Z},B?{m|?Z},则A?B?__________225(4)集合A?{x|?4?x?2},B?{x|?1?x?3},C?{x|x?0,或x?}
2那么A?B?C?_______________,A?B?C?_____________;九、归纳小结(略) 十、作业布置 3、 书面作业:P13习题1.1,第6-12题
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人教版高中数学必修一教案1
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