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第九章 灰色系统方法建模
客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未被人们全部了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
§1 灰色关联度与优势分析
大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁多。我们经常要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键。例如人们关心的人口问题构成一个系统，影响人口发展变化的因素有社会方面的诸如计划生育、社会治安、社会生活方式等；有经济方面的诸如国民收入、社会福利、社会保险等；还有医疗方面的诸如医疗条件、医疗水平等……也就是说，人口是多种因素互相关联、互相制约的系统，对这些因素进行分析将有助于人们对人口的未来预测及人口控制工作。
因素分析的基本方法过去主要是采用回归分析等办法，但回归分析的办法有很多欠缺，如要求大量数据、计算量大以及可能出现反常情况等。为克服以上弊病，本节采用灰色关联度分析的办法来做系统分析。
一、灰色关联度 选取参考数列
X0?{X0(k)k?1,2,?,n}?(X0(1),X0(2),?,X0(n))
其中k表示时刻。假设有m个比较数列
Xi?{Xi(k)k?1,2,?,n}?(Xi(1),Xi(2),?,Xi(n))i?1,2,?,m
则称
?i(k)?minminX0(k)?Xi(k)??maxmaxX0(k)?Xi(k)ikikX0(k)?Xi(k)??maxmaxX0(k)?Xi(k)ik （1）
为比较数列Xi对参考数列X0在k时刻的关联系数，其中??[0,??)为分辨系数。一般来讲，分辨系数??[0,1]，由（1）容易看出，?越大，分辩率越大；?越小，分辩率越小。
式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各精品文档
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个时刻都有一个关联系数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出
1n ri???i(k) （2）
nk?1为比较数列Xi对参考数列X0的关联度。
由式（2）容易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，即把过于分散的信息集中处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进行因素分析。在利用（1）和（2）计算关联度之前，我们还需要对各个数列做初始化处理。一般来讲，实际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在计算关联系数时，要求量纲要相同。因此要首先对各种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求所有数列有公共的交点。为了解决上述两个问题，我们对给定数列进行变换。给定数列X?(X(1),X(2),?,X(n))，称
?X(2)X(3)X(n)?? （3） X??1,,,?,?X(1)X(1)?X(1)??为原始数列X?(X(1),X(2),?,X(n))的初始化数列。
二、铅球运动员专项成绩的因素分析
通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其1982~1986年每年最好成绩及16项专项素质和身体素质的时间序列资料，见下表。 指 标 铅球专项成绩 X0 4公斤前抛 X1 4公斤后抛 X2 4公斤原地 X3 立定跳远 X4 高翻 X5 抓举 X6 卧推 X7 3公斤前抛 X8 3公斤后抛 X9 3公斤原地 X10 3公斤滑步 X11 立定三级跳远 X12 全蹲 X13 挺举 X14 30米起跑 X15 精品文档
12.80 15.30 12.71 14.78 7.64 120 80 4\ 15.30 18.40 14.50 15.54 7.56 125 85 4\ 16.24 18.75 14.66 16.03 7.76 130 90 4\ 16.40 17.95 15.88 16.87 7.54 140 90 4\ 17.05 19.30 15.70 17.82 7.70 140 95 3\ 1982 13.60 11.50 13.76 12.21 2.48 85 55 65 1983 14.01 13.00 16.36 12.70 2.49 85 65 70 1984 14.54 15.15 16.90 13.96 2.56 90 75 75 1985 15.64 15.30 16.56 14.04 2.64 100 80 85 1986 15.69 15.02 17.30 13.46 2.59 105 80 90 精品文档
13\ 13\ 12\ 12\ 12\ 100米 X16 我们对表中的16个数列进行初始化处理。注意，对于前14个数列，随着时间的增加，数值的增加意味着运动水平的进步，而对后两个数列来讲，随着时间的增加，数值（秒数）的减少意味着运动水平的进步。因此，在对数列X15=（4\，4\，4\，4\，3\）及数列X16=（13\，13\，12\，12\，12\）进行初始化处理时，采用以下公式
iiii Xi??1,,,,?X(2)X(3)X(4)X(5)??iiii???X(1)X(1)X(1)X(1)?i?15,16
依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项成绩作为参考数列，将上表中的各个数列的
初始化数列代入（1）、（2），易计算出各数列的关联度，如下表所示。 r1 0.588 r2 0.633 r3 0.854 r4 0.776 r5 0.855 r6 0.502 r7 0.659 r8 0.582 r9 0.683 r10 0.695 r11 0.895 r12 0.705 r13 0.933 r14 0.847 r15 0.745 r16 0.726 由上表易看出，影响铅球运动员专项成绩的前八项主要因素依次为全蹲、3公斤滑步、高翻、4公斤原地、挺举、立定跳远、30米起跑、100米成绩。因此，在训练中应着重考虑安排这八项指标的练习。这样可减少训练的盲目性，提高训练效果。
应该指出的是，公式（1）中的X0(k)?Xi(k)不能区别因素关联是正关联还是负关联，可采取下面办法解决这个问题。记
?i??kXi(k)??Xi(k)?
k?1nk?1nnkk?1nn ?n??kk?12?(?k)2/n
k?1n??i则当sign????n 当sign????j????sign?????n???，则Xi和Xj为正关联； ????，则Xi和Xj为负关联。 ???j??i?????sign?????n??n三、优势分析
当参考数列不止一个，被比较的因素也不止一个时，则需要进行优势分析。
假设有m个参考因素，记为Y1,Y2,?,Ym，再设有n个比较数列，记为X1,X2,?,Xn。显然，每个参考数列对n个比较数列有n个关联度，设rij表示比较数列Xj对参考数列Yi的关联度，可构造关联矩阵R?(rij)m?n。根据矩阵R的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影响，哪些因素起次要影响。起主要影响的因素称之为优势因素。再进一步，当某一列元素大于其他列元素时，称此列所对应的子因素为优势子因素；当某一行元素均大于其他行元素时，称此行所对精品文档
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应的母元素为优势母元素。如果矩阵R的某个元素达到最大，则此行所对应的母元素被认为是所有母子因素中影响最大的。
下面我们考虑一个实际问题。某地区有6个母因素Yi、5个子因素Xj为
Y1：国民收入 Y2：工业收入 Y3：农业收入 Y4：商业收入 Y5：交通收入
Y6：建筑业收入
X1：固定资产投资 X2：工业投资 X3：农业投资 X4：科技投资 X5：交通投资
其数据列于下表。 1979 1980 1981 1982 1983 308.58 310 295 346 367 195.4 189.4 187.2 205 222.7 24.6 21 12.2 15.1 14.57 20 25.6 23.3 29.2 30 18.89 19 22.3 23.5 27.66 170 174 197 216.4 235.8 57.55 70.74 76.8 80.7 89.85 88.56 70 85.38 99.83 103.4 11.19 13.28 16.82 18.9 22.8 4.03 4.26 4.34 5.06 5.78 13.7 15.6 13.77 11.98 13.95 X1 X2 X3 X4 X5 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 根据表中的数据,易计算出各个子因素对母因素的关联度，从而得到关联矩阵为
?0.811??0.641?0.839R???0.563?0.819??0.795?0.7700.6480.7430.920??0.6240.5780.8090.680?0.8280.7200.5880.735??
0.5520.5420.6160.535?0.7800.6490.7070.875??0.8120.7140.5840.613??从关联矩阵R可以看出
1、第4行元素几乎最小，表明各种投资对商业收入影响不大，即商业是一个不太需要依赖外资而能自行发展的行业。从消耗投资上看，这是劣势，但从少投资多收入的观点看，这是优势； 2、r15=0.920最大，表明交通投资的多少对国民收入的影响最大；
3、r55=0.875仅次于r15，表明交通收入主要取决于交通投资，这是很自然的；
4、在第4列中r24=0.809最大，表明科技对工业影响最大，而r34=0.588比较小，表明从全面来衡量，还没有使科技投资与农村经济挂上钩，即科技投资针对的不是农村需要的科技，r64=0.584更小，表明科技对建筑业的作用比农业还差；
5、第3列的元素普遍比较大，表明农业是个综合性行业，需要其它方面的配合，例如：r32=0.828表明工业发展能够较大地促进农业的发展。另外，r35=0.735表明农业发展与交通发展也是密切相关的。
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（整理）数学建模案例分析--灰色系统方法建模1灰色关联度与优势分析
