《高等数学（二）》课程期末复习资料
《高等数学（二）》课程（PPT）讲稿章节目录：
第5章 不定积分 5.1 不定积分概念 5.2 换元积分法 5.3 分部积分法
第6章 定积分 6.1 定积分的概念 6.2 定积分的性质
6.3 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 6.4 定积分的计算 6.5 广义积分初步 6.6 定积分在几何上的应用 第6章 习题课
第7章 向量代数与空间解析几何 7.1 空间直角坐标系 7.2 向量代数 7.3 平面及其方程 7.4 空间直线及其方程 7.5 曲面与二次曲面 第8章 多元函数微分学 8.1 多元函数的概念 8.2 偏导数 8.3 全微分
8.4 多元复合函数的微分法 8.5 隐函数的微分法 8.6 方向导数与梯度（省略）
8.7 偏导数在几何上的应用 8.8 多元函数的极值与最值 第8章 习题课 第9章 二重积分
9.1 二重积分的概念及性质 9.2 直角坐标系中二重积分的计算 第10章 微分方程（选用教材中为第12章） 10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程
10.3 可降阶的高阶微分方程（省略） 10.4 线性微分方程解的结构 10.5 常系数线性齐次微分方程
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一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断） （一）、单项选择部分 1．?xdx?（ ）。
1?x2x3232（A）?C （B）?C （C）x?C （D）2x2?C
23312★考核知识点: 不定积分的计算 附1.1.1（考核知识点解释及答案）：
函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作
?f(x)dx，其中?称为积分号； f(x)称为被积函数；f(x)dx称为
被积表达式.x称为积分变量.
显然,若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则 ?f(x)dx?F(x)?C,C为任意常数. 基本积分表：
(1)?kdx?kx?C (k为常数)；
?x??1(2)?xdx??C(???1);
??1dx?x?ln|x|?C;
1(4)?dx?arctanx?C;
1?x2(3)(5)?11?x2dx?arcsinx?C;
(6)?cosxdx?sinx?C;
(7)(8)?sinxdx??cosx?C;
dx2?sec?cos2x?xdx?tanx?C; dx(9)?2??csc2xdx??cotx?C;
sinx(10)(11)?secxtanxdx?secx?C; ?cscxcotxdx??cscx?C;
xxe?C; edx??(12)ax?C. (13)?adx?lnax上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。在这里 作为复习我们一次性给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用了基本积分公式：
23答案：（C）x2?C。
3x??1?xdx???1?C?(???1)。
x2．?sin2dx? （ ）。
211(A) (x-sinx)?C (B) cotx-x?C (C) secx+C (D) tanx-x?C
22★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.2（考核知识点解释及答案【解答过程】）：
不定积分的计算需要运用不定积分的性质：
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx， ?kf(x)dx?k?f(x)dx。
计算过程如下：
x11 ?sin2dx??(1?cos)dx?(x?sinx)?C。
2221 答案：(A) (x-sinx)?C。
213．?。 dx?（ ）
3?2x1(A) tan2x?C (B) ln|3?2x|?C (C) ln2x+C (D) lncosx?C
2★考核知识点: 不定积分的换元积分法
附1.1.3（考核知识点解释及答案【解答过程】）：
常用换元公式如下：
dx?11d(ax?b)； xdx?d(x2)； a211dx?2dx； dx?d(lnx)；
xxexdx?d(ex)； sinxdx??d(cosx)；
cosxdx?d(sinx)； sec2xdx?d(tanx)； csc2xdx??d(cotx)；
1dx?d(arctanx)； 21?x11?x2dx?d(arcsinx)； secxtanxdx?d(secx)。
“常用换元公式”在许多换元积分中用到。在这里作为复习我们一次性 给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用常用换元公式：dx?计算过程如下：
u?3?2x11111dx????du?ln|u|?C?ln|3?2x|?C ?3?2xdu?2dx2?u221答案： (B) ln|3?2x|?C。
21d(ax?b)。 a
4． ?x2sinxdx?（ ）。
?11（A）0； （B）1；（C）2； （D）3 ★考核知识点: 定积分的计算 附1.1.4（考核知识点解释及答案）： 利用换元积分法可以证明：
若f(x)在[a,b]上连续且为奇函数，则?f(x)dx=0。
?aa事实上，?f(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx=
?a?a00a0a =??f(?x)dx+?f(x)dx=
a0a =?f(?x)dx+?f(x)dx=
00aa =?[f(x)?f(?x)]dx。
0a当f(x)为奇函数时，f(x)+f(?x)=0，故?f(x)dx=0。
?aa在定积分计算中可以利用这个结论。 答案： （A）0 。 5．?sinxdx?（ ）。
2?0（A）-2； （B）-1；（C）0； （D）1 ★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.5（考核知识点解释及答案【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数f(x)在[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数f(x)在[a,b]上的定积分，就是计算f(x)的任一原函数在[a,b]上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
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