便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．
例43解法1
求?dx．
1?sinx?cosxx令u?tan，则
222dx1x1?u?du??1?sinx?cosx?2u1?u2?u?1du?ln1?tan2?C．
1??1?u21?u2 解法2
dx1dxdx?? ??1?sinx?cosx?xxxxx22sincos?2cos2cos2(1?tan)22222xxd()d(tan)22 ????xxxcos2(1?tan)1?tan222?ln1?tanx?C． 2注 可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类： 第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换u?tanx将其化为u的有理函数的积分． 2第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分．对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分．常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法．
例44 求?max{x2,1}dx．
分析 被积函数max{x2,1}实际上是一个分段连续函数，它的原函数F(x)必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分， 再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．
解 由于
?x2,x?1f(x)?max{x,1}??，
x?1,?12设F(x)为f(x)的原函数，则
?13?3x?C1,x??1?F(x)??x?C2,x?1，
?1,x?1?x3?C3?3其中C1，C2，C3均为常数，由于F(x)连续，所以
11F(?1?)???C1?F(?1?)?C2?1，F(1?)?C2?1?F(1?)??C3，
33于是
22C1???C2，C3??C2，
33记 C2?C，则
?132?3x?3?C,x??1?2max{x,1}dx?x?C,x?1． ???12,x?1?x3??C3?3注对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理． 例45 求?e?xdx． 解 当x?0时，
?x?x?edx??edx??e?C1． ?x当x?0时，
?e?xdx??exdx?ex?C2．
因为函数e?x的原函数在(??,??)上每一点都连续，所以
?xxlim(?e?C)?lim(e?C2)， 1??x?0x?0即
?1?C1?1?C2，C1?2?C2，
记 C2?C，则
?x???e?2?C,x?0． ?edx??x,x?0??e?C?x错误解答 当x?0时，
?e当x?0时，
?xdx??e?xdx??e?x?C1．
?e故
?xdx??exdx?ex?C2．
?x???e?C1,x?0． ?edx??x??e?C2,x?0?x错解分析 函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的．事实上，被积函数e?x在(??,??)上连续，故在(??,??)上有原函数，且原函数在
(??,??)上每一点可导，从而连续．可据此求出任意常数C1与C2的关系，使e?x的不定积分中只含有一个任意常数．
注 分段函数的原函数的求法：
第一步，判断分段函数是否有原函数．如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点， 那么在包含该点的区间内，原函数不存在．如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在．
第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系．
例46 求下列不定积分：
x?sinx（1）?dx．
1?cosxcotx（3）?dx．
1?sinx解
（2）?e（4）?sinxxcos3x?sinxdx．
cos2xdx． 3sinxcosx11x（1）注意到sinxdx??d(1?cosx)及dx?dx?d(tan)，可将原来x1?cosx2cos222的积分拆为两项，然后积分，即
x?sinxxsinxdx?dx??1?cosx?1?cosx?1?cosxdx
x1 ??xd(tan)??d(1?cosx)
21?cosxxx ?xtan??tandx?ln(1?cosx)
22xx?xtan?2lncos?ln(1?cosx)?C1
22 ?xtanxxx?2lncos?ln(2cos2)?C1 222x?xtan?C2(C?C1?ln2)．
（2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再观察．
xcos3x?sinxdx??esinxxcosxdx??esinxtanxsecxdx 2cosx?esinx??xd(esinx)??esinxd(secx)
?xesinx??esinxdx?esinxsecx??esinxdx ?esinx(x?secx)?C．
（3）?cotxcosx1dx??dx??d(sinx)
1?sinxsinx(1?sinx)sinx(1?sinx) ??11d(sinx)??d(sinx) sinx1?sinxsinx?ln?C．
1?sinx（4）当分母是sinmxcosnx的形式时，常将分子的1改写成sin2x?cos2x，然后拆项，
使分母中sinx和cosx的幂次逐步降低直到可利用基本积分公式为止．
dxdxcosxdxdsinx???2csc2xdx??sin3xcosx?sinxcosx?sin3x??sin3x
1 ?lncsc2x?cot2x??C．
2sin2x注将被积函数拆项，把积分变为几个较简单的积分，是求不定积分常用的技巧之一．
x2例47 求?dx．
(1?x2)3解 考虑第二类换元积分法与分部积分法，令x?sint，则
x2sin2t2353?(1?x2)3dx??cos5tdt??tantsectdt??(sect?sect)dt， 而
?sec故
5tdt??sec3td(tant)?sec3ttant?3?tan2tsec3tdt ?sec3ttant?3?(sec5t?sec3t)dt．
13353sectdt?secttant?sectdt． ?44?又
?sec从而
3tdt??sectd(tant)?secttant??tan2tsectdt ?secttant??(sec3t?sect)dt，
113sectdt?secttant?lnsect?tant?C1， ?22所以
131x23?secttant?sectdt dx23?(1?x)44?111?sec3ttant?secttant?lnsect?tant?C 488x?x311?x ??ln?C．
8(1?x2)2161?x例48 求?解因为
7cosx?3sinxdx．
5cosx?2sinx(5cosx?2sinx)??2cosx?5sinx，
所以可设
7cosx?3sinx?A(5cosx?2sinx)?B(5cosx?2sinx)?，
即
7cosx?3sinx?A(5cosx?2sinx)?B(2cosx?5sinx)，
比较系数得
?5A?2B?7， ?2A?5B??3?解之得A?1，B?1，故
7cosx?3sinx(5cosx?2sinx)?(5cosx?2sinx)?dx?dx ?5cosx?2sinx?5cosx?2sinxd(5cosx?2sinx) ??dx??5cosx?2sinx ?x?ln5cosx?2sinx?C．
例49 设F(x)是f(x)的原函数，且当x?0时有
f(x)?F(x)?sin22x，
又F(0)?1，F(x)?0，求f(x)．
分析 利用原函数的定义，结合已知条件先求出F(x)，然后求其导数即为所求．
解 因为F?(x)?f(x)，所以F?(x)F(x)?sin22x，两边积分得
?F?(x)F(x)dx??sin即
22xdx，
12x1F(x)??sin4x?C， 228由F(0)?1得C?1，所以 21F(x)?x?sin4x?1，
4从而
f(x)?F?(x)?1?cos4x12x?sin4x?14 ?sin22x1x?sin4x?14．
高等数学课后习题答案--第四章不定积分
