（2）?lnx?111dx??dx??dx 2(lnx)lnx(lnx)2?xx1??dx??(lnx)2dx lnxx(lnx)2?x?C． lnx注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一．
例31 求?sin(lnx)dx．
分析 这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止． 解法1 利用分部积分公式，则有
1sin(lnx)dx?xsin(lnx)?xcos(lnx)?dx ??x ?xsin(lnx)??cos(lnx)dx?xsin(lnx)?xcos(lnx)??sin(lnx)dx，
所以
1sin(lnx)dx?x[sin(lnx)?cos(lnx)]?C． ?2 解法２ 令 lnx?t，dx?etdt，则
?sin(lnx)dx=?esintdt?esint??esintdt?esint?ecost??esintdt，
所以
tttttt1t1tsin(lnx)dx?(esint?ecost)?C?x[sin(lnx)?cos(lnx)]?C． ?22例32 求In??lnnxdx，其中n为自然数． 分析 这是适合用分部积分法的积分类型． 解
In??lnnxdx?xlnnx?n?lnn?1xdx?xlnnx?nIn?1，即
In?xlnnx?nIn?1
为所求递推公式．而
I1??lnxdx?xlnx??dx?xlnx?x?C．
注1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u和v两个函数的“地位”，否则不仅
不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得．
注2 分部积分法常见的三种作用： （1）逐步化简积分形式； （2）产生循环；
（3）建立递推公式．
例33
4x2?4x?11求积分?dx．
(2x?1)(2x?3)(2x?5)分析 计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分．
4x2?4x?11解 用待定系数法将化为部分分式之和．设
(2x?1)(2x?3)(2x?5)4x2?4x?11ABC， ???(2x?1)(2x?3)(2x?5)2x?12x?32x?5用(2x?1)(2x?3)(2x?5)乘上式的两端得
4x2?4x?11?A(2x?3)(2x?5)?B(2x?1)(2x?5)?C(2x?1)(2x?3)，
两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即
?A?B?C?1?， ??A?3B?C?1??15A?5B?3C??11?这是关于A，B，C的线性方程组，解之得A?
113，B??，C?．
424由于用待定系数法求A，且易出错，下面用赋值法求A，因C的值计算量大，C．B，B，为等式
4x2?4x?11?A(2x?3)(2x?5)?B(2x?1)(2x?5)?C(2x?1)(2x?3)
是恒等式，故可赋予x为任何值．令 x?得C?11315，可得A?．同样，令x??得B??，令x?，
222423，于是 41111314x2?4x?11?dx?dx?dx dx?(2x?1)(2x?3)(2x?5)2?2x?14?2x?34?2x?5113?ln2x?1?ln2x?3?ln2x?5?C 4881(2x?1)2(2x?5)3?ln?C． 82x?3例34 求?1dx．
x3?4x2?5x?2解 x3?4x2?5x?2是三次多项式，分解因式 x3?4x2?5x?2?(x3?x2)?3(x2?x)?2(x?1)
?(x?1)(x2?3x?2)?(x?1)2(x?2)
设
1ABC???，
(x?1)2(x?2)x?2x?1(x?1)2即
(A?B)x2?(2A?3B?C)x?(A?2B?2C)?1，
从而
A?B?0???2A?3B?C?0， ?A?2B?2C?1?解得A?1，B??1，C?1，因此
11?11dx?(?? ?3?x?2x?1(x?1)2)dx x?4x2?5x?2??111dx??dx??dx x?2x?1(x?1)2?lnx?2?lnx?1?1?C． x?1例35
求?dx．
(x2?1)(x2?x?1)解因为
1?xx?1??，所以
(x2?1)(x2?x?1)x2?1x2?x?1dx?xx?1?(??(x2?1)(x2?x?1)?x2?1x2?x?1)dx
1d(x2?1)1d(x2?x?1)1dx ???2??2??22x?12x?x?12x?x?11d(x?)1112 ??ln(x2?1)?ln(x2?x?1)??222(x?1)2?3241x2?132x?1??ln2?arctan?C．
2x?x?133例36解
x2?5x?4求?4dx．
x?5x2?4x2?5x?4Ax?BCx?D设4，则有 ?2?22x?5x?4x?1x?4x2?5x?4?(A?C)x3?(B?D)x2?(4A?C)x?4B?D，
比较两边同次幂的系数，解得A?
55，B?1，C??，D?0，从而 33x2?5x?415x?35xdx?dx??x4?5x2?43?x2?13?x2?4dx
5x5x15x2?1??2dx??2dx??2dx?ln2?arctanx?C． 3x?13x?4x?16x?4x3?4x2例37 求?2dx．
x?5x?6x3?4x2分析 2是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式
x?5x?6之和．
98x3?4x2x?6解 由于2 ?x?1?，则 ??x?1?2x?5x?6x?5x?6x?3x?2x3?4x298?x2?5x?6dx??(x?1?x?3?x?2)dx
1?x2?x?9lnx?3?8lnx?2?C． 2x5dx例38 求?6．
x?x3?2解 令u?x3，du?3x2dx，则
x5dx1x3d(x3)1udu???x6?x3?23?x6?x3?23?u2?u?2 1u112??du??(?)du3(u?1)(u?2)9u?1u?2
121?lnu?1?lnu?2?C?ln(x3?1)(x3?2)2?C． 999x2例39 求?dx． 100(1?x)x2分析 被积函数是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确
(1?x)100定A1，A2，…，A100，比较麻烦．根据被积函数的特点：分母是x的一次因式，但幂次较高，而分子是x的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解．
解法1 令1?x?t，dx??dt，则
x2(1?t)2t2?2t?1?(1?x)100dx???t100dt???t100dt
???t?98dt?2?t?99dt??t?100dt
解法2
1?9711t?2?t?98?t?99?C 979899111?(1?x)?97?(1?x)?98?(1?x)?99?C． 974999x?11x2(x2?1)?1??dx?dx?dx?(1?x)99?(1?x)100dx ?(1?x)100?(1?x)100(1?x)?21??dx??(1?x)100dx (1?x)99111??dx?2dx??(1?x)99?(1?x)100dx (1?x)98??111(1?x)?97?(1?x)?98?(1?x)?99?C． 974999解法3 用分部积分法．
x21x22x2?99?(1?x)100dx??xd[99(1?x)]?99(1?x)99??99(1?x)99dx
x221??xd[(1?x)?98] 99?99(1?x)9998x22x1dx??[??] 999899(1?x)9998(1?x)98(1?x)98x21x21??????C． 99(1?x)999949(1?x)9899?9897(1?x)97注 形如
P(x)的（P(x)与Q(x)均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分Q(x)解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和．
1dx． 例40 求?3?2x?2x?1分析 这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一．
解
?13?2x?2x?1dx??3?2x?2x?1(3?2x?2x?1)(3?2x?2x?1)dx
111122(3?2x)dx?(2x?1)dx ??443311?(3?2x)2?(2x?1)2?C． 1212?例41 求?解法1
a?xdx． a?xa?xa?x1xdx??dx?a?dx??dx 222222a?xa?xa?xa?x??a?1a2?x2dx?122?1(a?x)2d(a2?x2) ?2x?aarcsin?a2?x2?C．
a解法2 令 t?例42
求?a?x，余下的请读者自行完成． a?x1dx．
5?4sin2x1dt，则 21?t分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数． 解令t?tanx，dx?1111dx?dt??5?4sin2x?5t2?8t?53?(53t?34)2?1d(53t?34)
154154?arctan(t?)?C?arctan(tanx?)?C． 333333注虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简
高等数学课后习题答案--第四章不定积分
