?sin3xdx、?cos2xdx、?cos3xcos2xdx、?sec6xdx、?sin2xcos5xdx,
请读者自行完成.
例8求下列不定积分:
dxdx1.(2).(3)?ex?e?x?1?exdx. ex?e?x分析 可充分利用凑微分公式:exdx?dex;或者换元,令u?ex.
dxexdx1解(1)?x??dex?arctanex?C. x2x2?x??(e)?1(e)?1e?edxex1(2)解法1 ?x?dx?dex, x2x2?x??(e)?1(e)?1e?e(1)?然后用公式?11x?adx?ln?C,则
x2?a22ax?adx1ex?1?ex?e?x?2lnex?1?C.
解法2
1111dxxx?de?(?)de x2xx???ex?e?x(e)?12e?1e?11d(ex?1)d(ex?1)?(?x??x) 2e?1e?11ex?1?lnx?C. 2e?111?ex?exex(3)解法1 ?dx??dx??(1?)dx xxx1?e1?e1?e1x??dx??d(1?e)
1?ex?x?ln(1?ex)?C.
1e?xd(e?x?1)解法2?dx???xdx????x??ln(e?x?1)?C. xe?1e?11?e解法3 令u?ex,du?exdx,则有
11111udx??du?(?)du?ln()?C x?1?e?1?uu?u1?u1?uex?ln()?C??ln(e?x?1)?C. x1?e注在计算不定积分时,用不同的方法计算的结果形式可能不一样,但本质相同.验证积分结果是否正确,只要对积分的结果求导数,若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的.
例9
求下列不定积分:
(1)?lntanxdx.
sinxcosx(2)?arctanxx(1?x)dx.
分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分. 解 (1)?lntanxlntanxdx??dx
sinxcosxtanxcos2xlntanx??d(tanx)??lntanxd(lntanx)
tanx1?ln2(tanx)?C. 2dx?2?arctanx1?(x)2dx (2)?arctanxx(1?x) ?2?arctanxd(arctanx)?(arctanx)2?C. arctan1xdx.
例10 求?1?x211分析 若将积分变形为?arctand(arctanx),则无法积分,但如果考虑到凑出,将被
xx1x?1,再将1与dx结合凑成?d(1),则问题即可解决. 积函数变形为21x2x1?()2xxarctanarctan111arctanarctanxdx?x?1dx??xd(1)
?12x2?12x1?x21?()1?()xx解
?11???arctand(arctan)
xx11??(arctan)2?C.
2x1?lnxdx. 例11求?2(xlnx)分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式,可知(xlnx)??1?lnx.
1?lnx11dx?d(xlnx)???C. 解??(xlnx)2(xlnx)2xlnx例12(04研) 已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)?_________. 分析 先求f?(x),再求f(x). 解令ex?t,即x?lnt,从而f?(t)?lnt.故 tlnx1dx??lnxd(lnx)?ln2x?C, x21由f(1)?0,得C?0,所以f(x)?ln2x.
2f(x)??dx.
sin2x?2sinx分析 被积函数为三角函数,可考虑用三角恒等式,也可利用万能公式代换.
例13
求?解法1
?x?d??dx1dx?2????sin2x?2sinx?2sinx(cosx?1)4?x3x
sincos22x??xd?tan?1?tan2112??2d?tanx? ?? ????x4tanxcos2x42??tan2221x1x?tan2?lntan?C. 8242解法2
令t?cosx,则 dxsinxdxdx??2?sin2x?2sinx?2sinx(cosx?1)?2sinx(1?cosx)
??1dt1?112???????dt
2?(1?t)(1?t)28??1?t1?t(1?t)2?12?(ln|1?t|?ln|1?t|?)?C 81?t111?ln(1?cosx)?ln(1?cosx)??C. 884(1?cosx)x2t21?t2解法3令t?tan,则sinx?,,dx?dt,则 cosx?1?t21?t21?t22dx1?1?121?t?dt?t?ln|t|?C ??sin2x?2sinx4??84?t?1x1x ?tan2?ln|tan|?C.
8242例14 求?dx1?x?1.
分析 被积函数含有根式,一般先设法去掉根号,这是第二类换元法最常用的手段之一. 解 设x?1?t,即x?t2?1,dx?2tdt,则
dx2t1?dt?2(1??1?x?1?1?t?1?t)dt
?2t?2ln1?t?C
?2x?1?2ln(1?x?1)?C
例15 求?4.
5?x?5?x分析 被积函数中有开不同次的根式,为了同时去掉根号,选取根指数的最小公倍数.
dx解令45?x?t,dx??4t3dt,则
??4t21?dt??4(t?1?)dt ??41?t1?t5?x?5?xdx1 ??4(t2?t?ln1?t)?C
2??4[例16 ?dx315?x?45?x?ln(1?45?x)]?C. 24(x?1)(x?1)2
26t2x?1解 令?1,dx?dt,则 ?t,即x?(1?t3)2x?11?t33?dx3(x?1)2(x?1)4??dxx?1(x2?1)3x?1??14t3?t(1?t3)26t2?dt (1?t3)231313x?11??2dt????C??()3?C. 2t2t2x?1例17
求?x24?x2dx.
分析被积函数中含有根式4?x2,可用三角代换x?2sint消去根式. 解 设4?x2?2cost(0?t?),dx?2costdt,则
22222x4?xdx?4sint?2cost?2costdt?4sin2t?dt ????1 ??2(1?cos4t)dt?2t?sin4t?C
2 ?2t?2sintcost(1?2sin2t)?C
xx1 ?2arcsin?4?x2(1?x2)?C.
222注1 对于三角代换,在结果化为原积分变量的函数时,常常借助于直角三角形.
注2 在不定积分计算中,为了简便起见,一般遇到平方根时总取算术根,而省略负平方根情况的讨论.对三角代换,只要把角限制在0到免了正负号的讨论.
1dx. 例18 求?22(1?x)分析虽然被积函数中没有根式,但不能分解因式,而且分母中含有平方和,因此可以考虑利用三角代换,将原积分转换为三角函数的积分.
解 设x?tant,dx?sec2tdt,1?x21sec2t2?(1?x2)2dx??sec4tdt??costdt
?,则不论什么三角函数都取正值,避2??2?sec4t,则
111(1?cos2t)dt?t?sin2t?C 2?241x?C. ?arctanx?22(1?x2) ?例19
求?x2?a2dx. x 分析 被积函数中含有二次根式x2?a2,但不能用凑微分法, 故作代换x?asect, 将被积函数化成三角有理式.
解 令x?asect,dx?asect?tantdt,则
?atantx2?a2dx???asect?tantdt?a?tan2tdt?a?(sec2t?1)dt xasect?a(tant?t)?C
x2?a2a?a(?arccos)?C.
ax例20
求?xx?4x?82dx.
解 由于x2?4x?8?(x?2)2?4,故可设x?2?2tant,dx?2sec2tdt,
?(2tant?2)?2sec2tdx??dt?2?secttantdt?2?sectdt
22sectx?4x?8x ?2sect?2lnsect?tant?C1
?x2?4x?8?2ln(x?2?x2?4x?8)?C.?C?C1?2ln2?
注 被积函数含有根式ax2?bx?c而又不能用凑微分法时, 由 ?b24ac?b2,a?0?a(x?)?2a4a2?2 ax?bx?c??
2b2b?4ac??a?(x?)?,a?0?2a4a2?可作适当的三角代换, 使其有理化.
例21 求?dx(x?2x?4)dx(x?2x?4)2323.
解
???dx[3?(x?1)]232,令x?1?3tant,则
高等数学课后习题答案--第四章不定积分
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