?sin3xdx、?cos2xdx、?cos3xcos2xdx、?sec6xdx、?sin2xcos5xdx，
请读者自行完成．
例８求下列不定积分：
dxdx1．（2）．（3）?ex?e?x?1?exdx． ex?e?x分析 可充分利用凑微分公式：exdx?dex；或者换元，令u?ex．
dxexdx1解（1）?x??dex?arctanex?C． x2x2?x??(e)?1(e)?1e?edxex1（2）解法1 ?x?dx?dex, x2x2?x??(e)?1(e)?1e?e（1）?然后用公式?11x?adx?ln?C，则
x2?a22ax?adx1ex?1?ex?e?x?2lnex?1?C．
解法2
1111dxxx?de?(?)de x2xx???ex?e?x(e)?12e?1e?11d(ex?1)d(ex?1)?(?x??x) 2e?1e?11ex?1?lnx?C． 2e?111?ex?exex（3）解法1 ?dx??dx??(1?)dx xxx1?e1?e1?e1x??dx??d(1?e)
1?ex?x?ln(1?ex)?C．
1e?xd(e?x?1)解法2?dx???xdx????x??ln(e?x?1)?C． xe?1e?11?e解法３ 令u?ex，du?exdx，则有
11111udx??du?(?)du?ln()?C x?1?e?1?uu?u1?u1?uex?ln()?C??ln(e?x?1)?C． x1?e注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．
例9
求下列不定积分：
（1）?lntanxdx．
sinxcosx（2）?arctanxx(1?x)dx．
分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分． 解 （1）?lntanxlntanxdx??dx
sinxcosxtanxcos2xlntanx??d(tanx)??lntanxd(lntanx)
tanx1?ln2(tanx)?C． 2dx?2?arctanx1?(x)2dx （2）?arctanxx(1?x) ?2?arctanxd(arctanx)?(arctanx)2?C． arctan1xdx．
例10 求?1?x211分析 若将积分变形为?arctand(arctanx)，则无法积分，但如果考虑到凑出，将被
xx1x?1，再将1与dx结合凑成?d(1)，则问题即可解决． 积函数变形为21x2x1?()2xxarctanarctan111arctanarctanxdx?x?1dx??xd(1)
?12x2?12x1?x21?()1?()xx解
?11???arctand(arctan)
xx11??(arctan)2?C．
2x1?lnxdx． 例11求?2(xlnx)分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(xlnx)??1?lnx．
1?lnx11dx?d(xlnx)???C． 解??(xlnx)2(xlnx)2xlnx例12（04研） 已知f?(ex)?xe?x，且f(1)?0，则f(x)?_________． 分析 先求f?(x)，再求f(x)． 解令ex?t，即x?lnt，从而f?(t)?lnt．故 tlnx1dx??lnxd(lnx)?ln2x?C， x21由f(1)?0，得C?0，所以f(x)?ln2x．
2f(x)??dx．
sin2x?2sinx分析 被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换．
例13
求?解法１
?x?d??dx1dx?2????sin2x?2sinx?2sinx(cosx?1)4?x3x
sincos22x??xd?tan?1?tan2112??2d?tanx? ?? ????x4tanxcos2x42??tan2221x1x?tan2?lntan?C． 8242解法2
令t?cosx，则 dxsinxdxdx??2?sin2x?2sinx?2sinx(cosx?1)?2sinx(1?cosx)
??1dt1?112???????dt
2?(1?t)(1?t)28??1?t1?t(1?t)2?12?(ln|1?t|?ln|1?t|?)?C 81?t111?ln(1?cosx)?ln(1?cosx)??C． 884(1?cosx)x2t21?t2解法３令t?tan，则sinx?，，dx?dt，则 cosx?1?t21?t21?t22dx1?1?121?t?dt?t?ln|t|?C ??sin2x?2sinx4??84?t?1x1x ?tan2?ln|tan|?C．
8242例14 求?dx1?x?1．
分析 被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一． 解 设x?1?t，即x?t2?1，dx?2tdt，则
dx2t1?dt?2(1??1?x?1?1?t?1?t)dt
?2t?2ln1?t?C
?2x?1?2ln(1?x?1)?C
例15 求?4．
5?x?5?x分析 被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数．
dx解令45?x?t，dx??4t3dt，则
??4t21?dt??4(t?1?)dt ??41?t1?t5?x?5?xdx1 ??4(t2?t?ln1?t)?C
2??4[例16 ?dx315?x?45?x?ln(1?45?x)]?C． 24(x?1)(x?1)2
26t2x?1解 令?1，dx?dt，则 ?t，即x?(1?t3)2x?11?t33?dx3(x?1)2(x?1)4??dxx?1(x2?1)3x?1??14t3?t(1?t3)26t2?dt (1?t3)231313x?11??2dt????C??()3?C． 2t2t2x?1例17
求?x24?x2dx．
分析被积函数中含有根式4?x2，可用三角代换x?2sint消去根式． 解 设4?x2?2cost(0?t?)，dx?2costdt，则
22222x4?xdx?4sint?2cost?2costdt?4sin2t?dt ????1 ??2(1?cos4t)dt?2t?sin4t?C
2 ?2t?2sintcost(1?2sin2t)?C
xx1 ?2arcsin?4?x2(1?x2)?C．
222注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．
注2 在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在0到免了正负号的讨论．
1dx． 例18 求?22(1?x)分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分．
解 设x?tant，dx?sec2tdt，1?x21sec2t2?(1?x2)2dx??sec4tdt??costdt
?，则不论什么三角函数都取正值，避2??2?sec4t，则
111(1?cos2t)dt?t?sin2t?C 2?241x?C． ?arctanx?22(1?x2) ?例19
求?x2?a2dx． x 分析 被积函数中含有二次根式x2?a2，但不能用凑微分法， 故作代换x?asect， 将被积函数化成三角有理式．
解 令x?asect，dx?asect?tantdt，则
?atantx2?a2dx???asect?tantdt?a?tan2tdt?a?(sec2t?1)dt xasect?a(tant?t)?C
x2?a2a?a(?arccos)?C．
ax例20
求?xx?4x?82dx．
解 由于x2?4x?8?(x?2)2?4，故可设x?2?2tant，dx?2sec2tdt，
?(2tant?2)?2sec2tdx??dt?2?secttantdt?2?sectdt
22sectx?4x?8x ?2sect?2lnsect?tant?C1
?x2?4x?8?2ln(x?2?x2?4x?8)?C．?C?C1?2ln2?
注 被积函数含有根式ax2?bx?c而又不能用凑微分法时， 由 ?b24ac?b2,a?0?a(x?)?2a4a2?2 ax?bx?c??
2b2b?4ac??a?(x?)?,a?0?2a4a2?可作适当的三角代换， 使其有理化．
例21 求?dx(x?2x?4)dx(x?2x?4)2323．
解
???dx[3?(x?1)]232，令x?1?3tant，则
高等数学课后习题答案--第四章不定积分
