第四章不定积分
典型例题解析
例1 求下列不定积分．
dx（1）?2． （2）?(x?1)(x3?1)dx．
xx分析利用幂函数的积分公式?xndx?数写成负指数幂或分数指数幂的形式．
解（1）?dxx2x??xdx??521n?1应当先将被积函数中幂函x?C求积分时，
n?112?3?5?12x?C??x2?C． 51?(?2)33112523（2）?(x?1)(x3?1)dx??(x2?x2?x2?1)dx?x3?x2?x2?x?C．
35312)dx． 例2求?(x?x 分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．
111211)dx??(x2?2x2?)dx??x2dx??2x2dx??dx 解 ?(x?xxx例3
143?x3?x2?lnx?C． 33求下列不定积分．
3x4?3x2?1（2）?dx．
x2?12?ex?5?2x（1）?dx．
3x分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．
解
e22?()x5?()x2?e?5?2ex2x3?3dx?2()dx?5()dx??C． （1）?x??3331?ln3ln2?ln3xx3x4?3x2?112（2）?dx?3xdx?dx?x3?arctanx?C． 22??x?11?x例4求下列不定积分．
11?x2?x4x4dx． （1）?2． （2）． （3）dxdx222?2?x(1?x)x(1?x)1?x分析根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．
1?x2?x411解 （1）?2dx?(1???x21?x2)dx x(1?x2)??dx??11dx??1?x2dx x2 ?x?1?arctanx?C． xx4(x4?1)?1（2）?dx??dx 221?x1?x(x2?1)(x2?1)?1??dx
1?x2??(x2?1)dx??1dx 1?x2?13x?x?arctanx?C． 311?x2?x2（3）?2dx??2dx
x(1?x2)x(1?x2) ??
例5 求下列不定积分． （1）?111dx?dx???arctanx?C． ?1?x2x2x1cos2xdx ． （2）?dx．
1?cos2xcosx?sinxcos2x（3）?cot2xdx． （4）?2dx．
sinxcos2x分析 当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有
的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．
解 （1）?111dx??dx?tanx?C．
1?cos2x2cos2x2cos2xcos2x?sin2x（2）?dx??dx
cosx?sinxcosx?sinx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C．
（3）?cot2xdx??(csc2x?1)dx??cotx?x?C． cos2xcos2x?sin2x（4）?2dx??dx 222sinxcosxsinxcosx??11dx??dx 2sinxcos2x ??csc2xdx??sec2xdx
??cotx?tanx?C．
例6 求下列不定积分．
（1）?(7x?9)dx． （2）?x(ax?b)dx．（a?0） x21（3）?． （4）dx?x(1?x)dx． (cosx3)29921n111（5）?sin(lnx)dx． （6）?2cos()dx．
xxx（7）?cosxdx1． （8）?cos2x1?tan2xdx． sin2x?6sinx?121?cotxarcsin2xdx． （9）?dx． （10）?sin2x1?x2（11）?x?(arctanx)dx．
1?x232分析 这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法． 解 （1）?(7x?9)99dx?1199(7x?9)d(7x?9)?(7x?9)100?C． ?77001?n11n1222nn?(ax?b)?C． （2）?x(ax2?b)ndx?(ax?b)d(ax?b)?2a(n?1)2ax21dx31（3）?dx??tanx3?C． 3232?(cosx)3(cosx)3（4）?1x(1?x)dx?2?dx1?(x)2?2arctanx?C．
1（5）?sin(lnx)dx??sin(lnx)d(lnx)??cos(lnx)?C．
x11111cosdx??cosd()??sin?C． ?xxx2xxd(sinx?3)1sinx?3cosxdx???arctan?C． （7）?22(sinx?3)?3sinx?6sinx?123311（8）?dx??d(tanx)?arcsin(tanx)?C．
222cosx1?tanx1?tanx（6）?111?cotx2dx???[1?(cotx)]d(cotx)???dcotx??(cotx)2dcotx （9）?2sinx32??cotx?(cotx)2?C．
3（10）?arcsin2x1dx??arcsin2xd(arcsinx)?(arcsinx)3?C．
31?x23232（11）?x?(arctanx)x(arctanx)dx?dx??1?x2?1?x2dx 1?x231d(1?x2)??(arctanx)2d(arctanx) ??221?x5122 ?ln(1?x)?(arctanx)2?C．
25注 用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验
的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．
（1）?f(axn?b)xn?1dx?（2）?f(ax)axdx?1f(axn?b)d(axn?b)(a?0)； ?na1xx； f(a)dalna?（3）?f(sinx)cosxdx??f(sinx)d(sinx)；
适用于求形如?sinmxcos2n?1xdx的积分，（m,n是自然数）．
（4）?f(cosx)sinxdx???f(cosx)d(cosx)；
适用于求形如?sin2m?1xcosnxdx的积分，（m,n是自然数）．
（5）?f(tanx)sec2xdx??f(tanx)d(tanx)； 适用于求形如?tanmxsec2nxdx的积分，（m,n是自然数）．
（6）?f(cotx)csc2xdx???f(cotx)d(cotx)；
适用于求形如是?cotmxcsc2nxdx的积分，（m,n是自然数）．
1（7）?f(lnx)dx??f(lnx)dlnx；
x1（8）?f(arcsinx)dx??f(arcsinx)d(arcsinx)；
1?x21（9）?f(arccosx)dx???f(arccosx)d(arccosx)；
21?xf(arctanx)dx??f(arctanx)d(arctanx)；
1?x2f(arccotx)（11）?dx???f(arccotx)d(arccotx)； 21?xf?(x)1dx??d(f(x))； （12）?f(x)f(x)（10）?例７ 求下列函数的不定积分： （1）?cos3xdx．
（3）?sin7xcos(?3x)dx．
4（5）?sin3xcos4xdx．
（2）?sin4xdx．
（4）?csc6xdx． （6）?sec3xtan5xdx．
?分析 在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化
和差公式等．
解
（1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cosx，并与dx凑成微分d(sinx)，
再利用三角恒等式sin2x?cos2x?1，然后即可积分．
?cos3xdx??cos2xd(sinx)??(1?sin2x)d(sinx)??dsinx??sin2xdsinx
1?sinx?sin3x?C．
3（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式sin2x?数的幂次．
1?cos2x，降低被积函21?cos2x24sinxdx?(??2)dx
311??(?cos2x?cos4x)dx
828311?x?sin2x?sin4x?C． 8432 （3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．
?1??sin7xcos(?3x)dx?[sin(4x?)?sin(10x?)]dx ?42?441??1????sin(4x?)d(4x?)??sin(10x?)d(10x?) 84420441?1???cos(4x?)?cos(10x?)?C． 84204 （4）利用三角恒等式csc2x?1?cot2x及csc2xdx??d(cotx)．
622222cscxdx?(cscx)cscxdx??(1?cotx)d(cotx)???
21???(1?2cot2x?cot4x)dcotx??cotx?cot3x?cot5x?C．
35（5）因为sin3xdx?sin2x(sinxdx)??sin2xd(cosx)，所以
?sin3xcos4xdx???sin2xcos4xd(cosx)???(1?cos2x)cos4xd(cosx)
???cos4xd(cosx)??cos6xd(cosx)
11??cos5x?cos7x?C． 57（6）由于secxtanxdx?d(secx)，所以
?sec3xtan5xdx??sec2xtan4xd(secx)??sec2x(sec2x?1)2d(secx)
121 ??(sec6x?2sec4x?sec2x)d(secx) ?sec7x?sec5x?sec3x?C．
753注利用上述方法类似可求下列积分
高等数学课后习题答案--第四章不定积分
