第十八讲 最值问题二
一、最值问题中的常用方法 a) 极端思考
在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解． b) 枚举比较
根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案． c) 分析推理
根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法． d) 构造调整
在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果． 二、求最大值和最小值的结论
1． 和一定的两个数，差越小，积越大； 2． 积一定的两个数，差越小，和越小； 3． 两点之间线段最短．
例1． 用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的
体积最大是多少立方厘米？
「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢？
练习1、（1）用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？
（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？
例2． 有5袋糖，其中任意3袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？
「分析」每3袋的总块数都超过60，要求5袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？
练习2、有5个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500分，那这五人的总积分最少是多少？
用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并例3．
且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．
「分析」为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大．那么首位9的倍数有什么特征呢？它对这三个数应该是多少呢？注意到这三个数都是9的倍数，提出了怎样的要求？
练习3、用1、2、3、4、5、6各一个组成两个三位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．
把1至99依次写成一排，行成一个多位数：1234L9899．从中划去99个数字，剩下例4．
的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？
「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？
练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：从中划去20个数字，1234L1920．剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？
邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必例5．
须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
1 1
邮局 1
1 1
1
「分析」如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道，则这样走的总路程就是最短的．那么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题，同学们回想一下，什么样的图形才能一笔画出来呢？
如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上例6．
角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．
B
3 A
1
3
「分析」众所周知，两点之间线段最短．然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行．这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A到B的最短路线．可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？
罐头装箱问题
我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题，怎么摆放才能最有效地利用包装箱内的空间呢？ 一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1这样．它是一种较优排法，但不是最优的办法．没有最大限度地利用空间，浪费不少，圆的面积只占总共的78.5%． 图1 图2 比上述办法好得多的办法，是将罐头摆放成图2所示的六边形．不难算出，正六边形内圆所覆盖的面积超过了90％．实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的，这种六边形摆放法是最紧密的包装方式． 但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候．例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的．如图3，它的放法就不比图4好． 图3 图4 当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越倾向于正六边形排法． 比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了．如图5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优解．我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间． 最后，大家思考一个问题：设1角钱硬币的直径为a厘米，那么我们在边长为10a厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是100枚吗？能否放进去更多？
图5
高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲 最值问题二
