2.2.1导数与函数的单调性
基础巩固题：
1.函数f(x)=
ax?1在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ） x?2111A.0
2221?2a1答案：C 解析：∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>.
x?22A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
a
答案：C解析：∵f′(x)＝2x＋2＋x，f(x)在(0,1)上单调， ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在
2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )
(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立， 所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x),0 9 3．函数f(x)＝x＋x的单调区间为________． 2 9x－9 答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f′(x)＝1－2＝2，令f′(x)<0，解得－3 xx 故单调减区间为(－3,0)和(0,3)． 4 函数y?x?x的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 23答案：(0,) ； (??,0),(,??) 解析： y??3x?2x?0,x?0,或x?5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3 (1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________． 2323'22 3[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1 1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<， 2 ∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1) 1 7．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________． 3 [答案] b<－1或b>2 [解析] 若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2. 8.已知x∈R,求证：ex≥x+1． 证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1． ∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0． 当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0． 当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0． 1，试讨论出此函数的单调区间. xx2?1(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)1－2 ?解：y′=(x+)′=1－1·x= 令＞0. 解222xxxx(x?1)(x?1)1得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，2xx1解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1) x9．已知函数y=x+ 10．已知函数f(x)?x?bx?cx?d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x?y?7?0．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2， 所以f(x)?x3?bx2?cx?2, f?(x)?3x2?2bx?c. 由 在 M(-1,f(-1)) 处 的 切 线 方 程 是 6x?y?7?032， 知 ?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6. ?3?2b?c?6,2b?c??3,即?1?b?c?2?1.b?c?0, 解得b?c??3.??故所求的解析式是 f(x)?x3?3x2?3x?2. （Ⅱ）f?(x)?3x2?6x?3.令3x2?6x?3?0, 即x2?2x?1?0. 解得 x1?1?2,x2?1?2. 当x?1?2,或x?1?2时,f?(x)?0; 当1?2?x?1?2时,f?(x)?0. 故f(x)在(??,1?2)内是增函数，在(1?2,1?2)内是减函数，在(1?2,??)内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 11.已知函数f(x)=x-x+bx+c. 3 122 (1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范 围; 22 解 （1）f?(x)=3x-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则f?(x)≥0.即3x-x+b≥0, ∴b≥x-3x在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x. 2 2 当x=时，g(x)max= 1611,∴b≥. 121212.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围. 322 解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x-(a+1)x+ax∴f?(x)=3x-2(a+1)x+a要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需f?(x)=3x-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足 f?(x)≥0即可. 2 ∵f?(x)=3x-2(a+1)x+a的对称轴是x= 2 a?1,3 ?a?1?a?1?2??288??3∴a的取值应满足：?3或?解得:a≤.∴a的取值范围是a≤. 33?f?(2)?0?f?(a?1)?0??3?13．已知函数 f(x)?4x?ax?范围． '2223x(x?R)在区间??1,1?上是增函数，求实数a的取值3'解：f(x)?4?2ax?2x，因为f?x?在区间??1,1?上是增函数，所以f(x)?0对 x???1,1?恒成立，即x2?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1 所以实数a的取值范围为??1,1?． 点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f(x)?0；若函数单调递减，则f(x)?0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 14.已知函数f(x)?x?bx?ax?d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f(?1)）处的切线方程6x?y?7?0，（1）求函数y?f(x)的解析式；（2）求函数y?f(x)的单调区间。 解：（1）由f(x)的图象经过P（0，2），知d?2，所以f(x)?x?bx?cx?2， 3232''f?(x)?3x2?2bx?c 由在点M（?1,f(?1)）处的切线方程为6x?y?7?0 ?3?2b?c?6∴ f(?1)?1,f?(?1)?6 即 ∴ ? 解得b?c??3 ??1?b?c?2?132故所求的解析式是f(x)?x?3x?3x?2 22（2）f?(x)?3x?6x?3 令3x?6x?3?0，解得x1?1?2,x2?1?2 当x?1?2或x?1?322时，f?(x)?0 2)内是增函数，在(1?2,1?2)内是减函数 当1?2?x?1?2时，f?(x)?0 故f(x)?x?3x?2在(??,1?在(1?2,??)内是增函数 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 2x－b 15．已知函数f(x)＝，求导函数f ′(x)，并确定f(x)的单调区间． (x－1)2 2(x－1)2－(2x－b)·2(x－1) 解析：f ′(x)＝＝ (x－1)4－2x＋2b－22[x－(b－1)] ＝－ (x－1)3(x－1)3令f ′(x)＝0，得x＝b－1且x≠1. 当b－1＜1，即b＜2时，f ′(x)的变化情况如下表： x (－∞，b－1) b－1 (b－1,1) (1，＋∞) f ′(x) x f ′(x) ＋∞)上单调递减． － (－∞，1) － 0 (1，b－1) ＋ ＋ b－1 0 － (b－1，＋∞) － 当b－1＞1，即b＞2时，f ′(x)的变化情况如下表： 所以，当b＜2时，函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1,1)上单调递增，在(1，当b＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，b－1)上单调递增，在(b－1，＋∞)上单调递减． 当b－1＝1，即b＝2时，f(x)＝＋∞)上单调递减． 2 ，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，x－1 强化提高题： 16．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a 答案：C解析：令y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，所以y在R上单调递减，又x 17．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． [答案] [3，＋∞)[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立， 3 即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3. 2 18．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________． 1＋lnx [答案] a≥1[解析] 由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立． x 1＋lnx1＋lnxlnx 设g(x)＝x，则g′(x)＝－2＜0 (x＞1)，∴g(x)＝x在区间(1，＋∞)内单调 x递减，∴g(x)＜g(1)， ∵g(1)＝1， ∴19．函数y＝x2e －x 1＋lnx x＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a≥1. 的单调递增区间是________． 32答案：(0,2)解析：y′＝(2x－x2)e－x＞0?0＜x＜2，故选填(0,2)． 20 若f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是_______________ 2'2答案：a?0,且b?3ac 解析： f(x)?3ax?2bx?c?0恒成立，则 ?a?02,a?0,且b?3ac ?2???4b?12ac?043 x+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________． 3答案：b>0 解析： y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0． 22.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的单调性并证明你的结论. 解析：设b≤x1 ∵f(x)在［-a,-b］上是减函数,∴0 则f(x2) 23．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． 21．若函数y=－ (1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性． [解析] (1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b. 由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12， ??1－3a＋3b＝－11即?，解得a＝1，b＝－3. ??3－6a＋3b＝－12 (2)由a＝1，b＝－3 得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1 当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数． 1124．若函数f(x)?x3?ax2?(a?1)x?1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,??)32上为增函数，试求实数a的取值范围． 解：f?(x)?x2?ax?a?1?(x?1)[x?(a?1)]， 令f?(x)?0得x?1或x?a?1， ∴当x?(1,4)时，f?(x)?0，当x?(6,??)时，f?(x)?0， ∴4?a?1?6，∴5?a?7． 25.设函数f(x)=x+ a(a>0).(1)求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)x在［a-2,+∞］上递增，求a的取值范围. 解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a,+∞］，减区间为（0，a）. 证明：∵f′(x)=1- a,当x∈［a,+∞］时， 2x
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