武汉科技大学
2007年硕士研究生入学试题课程名称：（420）高等代数说明：1.可使用的工具：计算器（
√
页数：4页（总页数））
2.答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效3.适用专业:应用数学、概率论与数理统计
注意：以下试题中：A*表示A的伴随矩阵，AT表示A的转置，
tr(A)表示A的对角元素的和。一、填空（共5小题30分）
?210?
??
1．矩阵?120?的逆矩阵为
?003???
2．已知(x?1)2|ax4?bx2?1，则(a,b)?
。
。?a11?
3．A??a21
?a?31
a12a22a32
a13??
a23?，Aij（i?1,2,3；j?1,2,3）是其代a33??
?1ab?
??
数余子式，已知A?1??02c?，
?003???则a11A11?a12A12?a13A13?
。
4．曲面x2?2axy?y2?z2?1为椭球，则a应满足的条件是：
。
高等代数2007硕士入学.doc-1-5．A为2?4阶矩阵，B为4?2阶矩阵，已知AB的特征值为
2和5。则BA的四个特征值分别为
。
二、单项选择题（共5小题30分）
1．设A为n阶方阵（n?2），则|A|?0的充分必要条件是
A）A中必有两行元素成比例；B）A中必有一行元素全为0；C）A的行向量组线性相关；
D）A中任意一行元素是其余各行的线性组合。
?x1?x2?x3?0
?
2．已知线性方程组?ax1?bx2?cx3?0只有零解，
?a2x?b2x?c2x?0
23?1
则a、b、c满足
A）a、b、c互不相等；C）a、b、c中恰有两个相等；
B）a?b?c；D）a2?b2?c2?0
3．A、B为n阶实对称阵，则
A）A2?B2的行列式大于0；B）存在n阶方阵C使得A2?B2?C2；C）AB正定；
D）A?B的特征值全大于0。
高等代数2007硕士入学.doc-2-4．T为n维线性空间V上的可逆线性变换，则不正确的是
A）T的特征值均不为0C）T在任何基下的矩阵可逆
B）T的值域空间为VD）T?1(0)的维数为1。
5．A、B都为n阶可逆方阵，则
A）(A?B)2?A2?2AB?B2C）|A?B|?|A|?|B|
。B）(AB)?1?A?1B?1D）(AB)T?BTAT
三、（10分）
讨论下述向量组的线性相关性：
?1?(a1?b1,a1?b2,?,a1?bn)，?2?(a2?b1,a2?b2,?,a2?bn),
┉，?n?(an?b1,an?b2,?,an?bn)。
四、（10分）V?{aet?bt?c|a,b,c?R1}，
D为微分算子：Df?f?，f?V求V的一组基与维数，并求D在此基下的矩阵。
五、（15分）已知下述二次型是半正定的，但不是正定的。
f(x1,x2,x3)?(a1x1?a2x2?a3x3)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2求a1,a2,a3。
高等代数2007硕士入学.doc-3-?000???
六、（15分）B??100?，A??E?B，求B3，Bn，An。
?010???七、（40分）
1．A、B为n维线性空间V上的线性变换，且AB?BA求证：<1>如果?0是A的一个特征值，那么V?0?{?|A???0?}
是B的不变子空间。<2>A、B有公共特征向量。
2．A、B为n阶实对称阵，且A正定，求证：方程组BABx?0，与方程组ABx?0同解
3．A为n阶实对称阵，?1??2都是A的特征值，?1、?2为相应于?1、?2的特征向量，求证?1、?2正交。
?ab?4．A???cd??为实方阵，其中b?0,c?0，求证A可与对角
??阵相似。
高等代数2007硕士入学.doc-4-
武汉科技大学数学专业历年考研试题高等代数2004-2011;2014-2016年
