五、（15分）
设a1a2?an???1?，证明下面的实二次型是正定的
n
f(x1,x2,?,xn)??x1?a1x2???x2?a2x3?????xn?1?an?1xn???xn?anx1?。六、（15分）
2222
?1?
??
设α??2?,β??2?12?，证明矩阵A?αβ满足：An?2n?1A。
?1???七、（15分）
设A为线性空间V的线性变换，证明：AV?A?1(0)当且仅当A2是零变换。八、（15分）
设A(t)是定义在区间a?t?b上的n?n矩阵函数，f(t)是定义在区间
a?t?b上的n维列向量函数，x,x'是n维列向量，Φ(t)是n维一阶齐线性
微分方程组
x'?A(t)x
的基解矩阵。试寻求n维一阶非齐线性微分方程组
（1）
x'?A(t)x?f(t)
的形如
（2）
?(t)?Φ(t)c(t)
的定义在区间a?t?b上且满足初始条件
（3）
x(t0)?0t0?[a,b]
（4）
的解，其中，c(t)是待定的n维列向量函数。
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2005年硕士研究生入学考试试题参考解答
考试科目及代码：高等代数420说
明：1.适用专业：应用数学070104
2.可使用的工具：计算器（√）
3.答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效
共3页
第1页
一、填空（6小题，共30分）
1.2.3.4.5.06．1
二、单项选择题（5小题，共30分）
1.2.3.4.5.
②③①③④
?4A?y?x??z?x??z?y?k?0,?30三、（15分）
n
?1?
解：d?a2a3?an?a1???
i?2ai??
高等代数420共3页第1页四、（15分）
证明：反证法，假设η*,ξ1,ξ2,?,ξn?r线性相关，则存在不全为零的常数
k0,k1,k2,?,kn?r使得下式成立：
k0η*?k1ξ1?k2ξ2???kn?rξn?r?0
（＊）
其中，k0?0，否则，ξ1,ξ2,?,ξn?r线性相关，而与其是基础解系矛盾。由于η*是特解，ξ1,ξ2,?,ξn?r是基础解系，故有
A?k0η*?k1ξ1?k2ξ2???kn?rξn?r??k0Aη*?k0b
由（＊）式可得
A?k0η*?k1ξ1?k2ξ2???kn?rξn?r??0，故
b?0，但这与
Ax?b是非齐线性方程组矛盾。即假设不成立，故结论成立
五、（15分）
证明：根据定义实二次型f(x1,x2,?,xn)正定是指对任意一组不全为零的实数c1,c2,?,cn都有f(c1,c2,?,cn)?0。该条件等价于如下方程组
?0?x1?a1x2
?x2?a2x3?0??
????????????????xn?1?an?1xn?0?
?xn?0??anx1
只有零解，其系数行列式不等于零，由已知条件知d?1???1?六、（15分）
n?1a1a2?an?0?1??2?12?????证明：A?αβ??2??2?12???4?24??1??2?12??????2?12??2?12??4?24?
??????
A2??4?24??4?24???8?48??2A
?2?12??2?12??4?24???????
A3?A2A??2A?A?2A2?2?2A??4A?22A，用数学归纳法可证结论成立
高等代数420共3页第2页七、（15分）
证明：任取??AV，则有??V，使得A???，如果A2是零变换，就有
A??A?A???A2??0??0，即??A?1(0)，所以AV?A?1(0)。
反之，如果AV?A?1(0)，那么，任取??V，则A??AV?A?1(0)，因而，
A2??0，即A2是零变换。八、（15分）
解：将（3）代入（2）得到：
Φ'(t)c(t)?Φ(t)c'(t)?A(t)Φ(t)c(t)?f(t)
因为Φ(t)是（1）的基解矩阵，所以Φ'(t)?A(t)Φ(t)，由此上式中含有
A(t)Φ(t)c(t)的项消去了。因而，c(t)必满足关系式
Φ(t)c'(t)?f(t)
（5）
因为在区间a?t?b上Φ(t)是非奇异的，所以Φ?1(t)存在。用Φ?1(t)左乘（5）式两边，然后积分之，得到
c(t)??Φ?1(s)f(s)ds,t0,t?[a,b]
t0t
其中c(t0)?0。这样，（3）式变为
?(t)?Φ(t)?Φ?1(s)f(s)ds,t0,t?[a,b]
t0t
（6）
因此，如果（2）式有一个形如（3）式的解?(t)，则?(t)由（6）式决定。反之，由（6）式决定的向量函数?(t)必定是（2）的解。事实上，微分（6）式得到
?'(t)?Φ'(t)?Φ?1(s)f(s)ds?Φ(t)Φ?1(t)f(t)
t0t
?A(t)Φ(t)?Φ?1(s)f(s)ds?f(t)
t0t
再利用（6）式，即得：?'(t)?A(t)?(t)?f(t)，显然还有?(t0)?0
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2006年硕士研究生入学考试试题
考试科目及代码：
高等代数（420）说明：1.适用招生专业：应用数学
2.可使用的常用工具：计算器
070104
3.答题内容只能写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效。4.考试时间3小时，总分值150分。
一、填空题（每小题5分，共30分）
1．已知A，B均为n阶矩阵，且A2?AB?E，则秩(AB?BA?A)?2．设A*是三阶矩阵A的伴随矩阵，若|A|?3．如果(x?1)2|(Ax4?Bx2?1)，则A=
1
，则|(2A)?1?3A*|?3
，B?
4．若实向量组?1?(0,4,2?t)T，?2?(2,3?t,1)T，?1?(1?t,2,3)T线性相关，则
实数t?
?712??13?
??B?5．设矩阵A与B相似，其中A??，?yx??24??，则x?????y?
?110?
??
6．设A??1k0?是正定矩阵，则k满足条件
?00k2???
二、单项选择题（每小题5分，共30分）1．设A，B为n阶方阵，A非零且AB?0，则A.C.
B?0BA?0B.|B|?0或|A|?0
D.(A?B)2?A2?B2
共3页第1页
武汉科技大学数学专业历年考研试题高等代数2004-2011;2014-2016年
