武汉科技大学
2004年硕士研究生入学试题 年硕士研究生入学试题
课程名称：高等代数
页数：3页（总页数）
说明：1.可使用的工具：计算器 （ √ ） 2.答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效
一、填空（共5小题30分）
?128?
??
1．矩阵?025?的相似标准形为
?003?
??
2．多项式f(x)=x4?2x2+2x?2在有理数域上一定（填：可约、不可约） 。
3．如果β可被向量组α1,α2,Λ,αr线性表出，则：
秩（α1,α2,Λ,αr） 秩（α1,α2,Λ,αr,β）。 ?12?
4．A=??是正定矩阵，则k 。 ?2k?
??
5．已知四阶方阵A的特征值为2，0，0，4。B与A相似，则B的特征多项
式fB(λ)= 。
二、单项选择题（共5小题30分）
，则A的特征值不可能是 1．设A为n阶正交阵（n≥2）
A） 1 B） i C） -1 D） 2
2．A为m×n阶矩阵，其秩=r A） 有无穷多个解 B）有唯一解 C） 无解 D）不一定有解 3．A为n阶实对称阵，则A正定的必要而非充分的条件是 A） A的行列式大于0 B） 存在n阶可逆方阵C使得A=CTC C） A与单位阵合同 D） A的特征值全大于0。 4．已知n阶方阵A与对角阵相似，则 A） 秩（A）=n B） A有n个不同的特征向量； C） A=AT D） A有n个不同的特征值。 5．A、B都为n阶方阵，AB=0，则 A） A=0或B=0 B） R(A)=0或R(B)=0 C） |A|=0或|B|=0 D） tr(A)=0或tr(B)=0 三、（10分） a1 b 计算n阶行列式d=b Λb ba2bΛbbba3ΛbΛΛΛΛΛbbb Λan 四、（10分）V={a+bt+ct2|a,b,c∈R1}， 求由基 f1(t)=1，f2(t)=t，f3(t)=1+t2， 到基 g1(t)=?t，g2(t)=1+t，g3(t)=t2 的过渡矩阵。 五、（15分）f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x1)2， 求一个正交替换使得二次型f为标准形。并判断其正定性。 ?A0? 六、（15分）AB为可逆方阵，求X=??的逆矩阵。 ?CB? ?? 七、（40分） 且f(x)=x3+x2?2为其零化多项式，1．A为n维线性空间V上的线性变换， 求证：A可逆；并用A的一个多项式表示A?1。 2．AB为n阶实方阵，若A正定，且B′AB=0，求证：B=0 3．A为m×n阶方阵，b为一个n维列向量。已知方程Ax=b有唯一解，求证ATA的主子式全部大于0。 4．已知三阶方阵A的特征值为1、1、2，V1={x∈R3|(A?E)2x=0}， V2={x∈R3|(A?2E)x=0} 求证：对任意η∈R3，都存在α∈V1与β∈V2使得 η=α+β。 武汉科技大学 2005年硕士研究生入学考试试题 考试科目及代码：高等代数420说 明：1.适用专业：应用数学070104 2.可使用的工具：计算器（√） 3.答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效 共3页 第1页 一、填空（6小题，共30分） 1. ?1?设A??0 ?0?1xx2 1yy2 0 1211z?z2 0? ?1 3?，则A* ???2? 5?2? 。。2. 3. 若β??0kk2?可由α1??1?k,1,1?,α2??1,1?k,1?,α3??1,1,1?k?。 。 。 唯一线性表示，则k=4. 若对任意的列向量x，均有Ax?0，则矩阵A? 5.设A为n阶方阵，Ax?0有非零解，则A必有一个特征值为6．多项式x4?2x?1的有理根是二、单项选择题（5小题，共30分） 1.设A为n阶矩阵（n?2），且A?0，A*是A的伴随矩阵，则?A*?? * 。。 ①③ AA n?1 AA ②④ AA n?2 AA n?1n?2 高等代数420共3页第1页2.A为m?n阶矩阵，且秩R(A)?r?n，则方程组Ax?b①③ 有唯一解不一定有解 ②④ 。有无穷多个解无解。 3.设A为n阶方阵，k是非零常数，则kA= ①③ knAk n ②④ kAkA。A 4.如果?x2?1,g(x)??1，且?x2?1?g(x)h(x)，则 ①②③④ ?x?1??x?1?g(x),?x?1?h(x)g(x),?x?1?h(x) h(x) ?x?1??g(x)，?x?1??x?1??g(x)，?x?1??h(x)5.设?0是n阶矩阵A的特征向量，且齐次线性方程组??0E?A?x?0的基础解系为η1与η2，则A的属于?0的全部特征向量是①③ 三、（15分） 。η1和η2η1+η2 ②④ η1或η2 k1η1?k2η2（k1,k2为不全为零的常数） a111 1a20 计算n阶行列式d?10a3 ???100四、（15分） ?1 ?0 ?0，其中a1a2?an?0。???an 设η*是非齐线性方程组Ax?b的一个解，ξ1,ξ2,?,ξn?r是对应的齐次方程组的一个基础解系，证明：η*,ξ1,ξ2,?,ξn?r线性无关。 高等代数420共3页第2页
武汉科技大学数学专业历年考研试题高等代数2004-2011;2014-2016年
