武汉科技大学
2004年硕士研究生入学试题 年硕士研究生入学试题
课程名称:高等代数
页数:3页(总页数)
说明:1.可使用的工具:计算器 ( √ ) 2.答题内容写在答题纸上,写在试题纸或草稿纸上无效
一、填空(共5小题30分)
?128?
??
1.矩阵?025?的相似标准形为
?003?
??
2.多项式f(x)=x4?2x2+2x?2在有理数域上一定(填:可约、不可约) 。
3.如果β可被向量组α1,α2,Λ,αr线性表出,则:
秩(α1,α2,Λ,αr) 秩(α1,α2,Λ,αr,β)。 ?12?
4.A=??是正定矩阵,则k 。 ?2k?
??
5.已知四阶方阵A的特征值为2,0,0,4。B与A相似,则B的特征多项
式fB(λ)= 。
二、单项选择题(共5小题30分)
,则A的特征值不可能是 1.设A为n阶正交阵(n≥2)
A) 1 B) i C) -1 D) 2
2.A为m×n阶矩阵,其秩=r A) 有无穷多个解 B)有唯一解 C) 无解 D)不一定有解 3.A为n阶实对称阵,则A正定的必要而非充分的条件是 A) A的行列式大于0 B) 存在n阶可逆方阵C使得A=CTC C) A与单位阵合同 D) A的特征值全大于0。 4.已知n阶方阵A与对角阵相似,则 A) 秩(A)=n B) A有n个不同的特征向量; C) A=AT D) A有n个不同的特征值。 5.A、B都为n阶方阵,AB=0,则 A) A=0或B=0 B) R(A)=0或R(B)=0 C) |A|=0或|B|=0 D) tr(A)=0或tr(B)=0 三、(10分) a1 b 计算n阶行列式d=b Λb ba2bΛbbba3ΛbΛΛΛΛΛbbb Λan 四、(10分)V={a+bt+ct2|a,b,c∈R1}, 求由基 f1(t)=1,f2(t)=t,f3(t)=1+t2, 到基 g1(t)=?t,g2(t)=1+t,g3(t)=t2 的过渡矩阵。 五、(15分)f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x1)2, 求一个正交替换使得二次型f为标准形。并判断其正定性。 ?A0? 六、(15分)AB为可逆方阵,求X=??的逆矩阵。 ?CB? ?? 七、(40分) 且f(x)=x3+x2?2为其零化多项式,1.A为n维线性空间V上的线性变换, 求证:A可逆;并用A的一个多项式表示A?1。 2.AB为n阶实方阵,若A正定,且B′AB=0,求证:B=0 3.A为m×n阶方阵,b为一个n维列向量。已知方程Ax=b有唯一解,求证ATA的主子式全部大于0。 4.已知三阶方阵A的特征值为1、1、2,V1={x∈R3|(A?E)2x=0}, V2={x∈R3|(A?2E)x=0} 求证:对任意η∈R3,都存在α∈V1与β∈V2使得 η=α+β。 武汉科技大学 2005年硕士研究生入学考试试题 考试科目及代码:高等代数420说 明:1.适用专业:应用数学070104 2.可使用的工具:计算器(√) 3.答题内容写在答题纸上,写在试题纸或草稿纸上无效 共3页 第1页 一、填空(6小题,共30分) 1. ?1?设A??0 ?0?1xx2 1yy2 0 1211z?z2 0? ?1 3?,则A* ???2? 5?2? 。。2. 3. 若β??0kk2?可由α1??1?k,1,1?,α2??1,1?k,1?,α3??1,1,1?k?。 。 。 唯一线性表示,则k=4. 若对任意的列向量x,均有Ax?0,则矩阵A? 5.设A为n阶方阵,Ax?0有非零解,则A必有一个特征值为6.多项式x4?2x?1的有理根是二、单项选择题(5小题,共30分) 1.设A为n阶矩阵(n?2),且A?0,A*是A的伴随矩阵,则?A*?? * 。。 ①③ AA n?1 AA ②④ AA n?2 AA n?1n?2 高等代数420共3页第1页2.A为m?n阶矩阵,且秩R(A)?r?n,则方程组Ax?b①③ 有唯一解不一定有解 ②④ 。有无穷多个解无解。 3.设A为n阶方阵,k是非零常数,则kA= ①③ knAk n ②④ kAkA。A 4.如果?x2?1,g(x)??1,且?x2?1?g(x)h(x),则 ①②③④ ?x?1??x?1?g(x),?x?1?h(x)g(x),?x?1?h(x) h(x) ?x?1??g(x),?x?1??x?1??g(x),?x?1??h(x)5.设?0是n阶矩阵A的特征向量,且齐次线性方程组??0E?A?x?0的基础解系为η1与η2,则A的属于?0的全部特征向量是①③ 三、(15分) 。η1和η2η1+η2 ②④ η1或η2 k1η1?k2η2(k1,k2为不全为零的常数) a111 1a20 计算n阶行列式d?10a3 ???100四、(15分) ?1 ?0 ?0,其中a1a2?an?0。???an 设η*是非齐线性方程组Ax?b的一个解,ξ1,ξ2,?,ξn?r是对应的齐次方程组的一个基础解系,证明:η*,ξ1,ξ2,?,ξn?r线性无关。 高等代数420共3页第2页
武汉科技大学数学专业历年考研试题高等代数2004-2011;2014-2016年
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