第二节 随机变量及其分布
考纲解读
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
命题趋势探究
1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。 3.有关正态分布的考题多为一道小题。
知识点精讲
一、条件概率与独立事件
（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作
P?BA? ，条件概率公式为P?BA?=P?AB?P?A? 。
（B），即P?AB?=P(A)P(B),称A与B为相互独立事件。 A与B相（2）若P?BA?=P互独立，即A发生与否对B的发生与否无影响，反之亦然。即A,B相互独立，则有公式
P?AB?=P(A)P(B)。
（3）在n次独立重复实验中，事件A发生k?0?k?n?次的概率记作Pn?k?，记A在其
kk中一次实验中发生的概率为P?A??p ，则Pn?k??Cnp?1?p?n?k .
二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量?的分布列（如表13-1所示）.
表13-1 ? ?1 p1 ?2 p2 ?3 p3 … ?n pn P ①??pi?1?1?i?n,i?N?? ; ②p1?p2?pn?1 .
（2）E?表示?的期望：E?=?1p1??2p2?…+?npn，反应随机变量的平均水平，若随机变量?，?满足?=a??b，则E??aE??b. （3）D?表示?的方差：D?=?1-E???2p1???2-E??p2?2???n-E??pn，反映随机变量
2?取值的波动性。D?越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量?，?满足
?=a??b，则D?=a2D?。
三、几种特殊的分布列、期望、方差 （1）两点分布（又称0，1分布）
?
0 1-p 1 Pp 件发生的概率为p?0?p?1?，则
n?kE?=p ，D?=p?1?p? .
（2）二项分布：若在一次实验中事
kk在n次独立重复实验中恰好发生k次概率p???k?= Cnp?1?p??k?0,1,2,?,n?，
称?服从参数为n,p的二项分布，记作? ~B?n,p? ，E?=np，D?=p?1?p?. （3）几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为p?0?p?1? ，则在n次独立重复实验中，在第k次首次发生的概率为p?k???1?p?k?1p ，k?1,2,?， E?=1。 p（4）超几何分布：总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的mmn?mCMCN?M件，m?0,1,2?,k ，其中k为M与n的较小者，P???m?=，称? 服从参nCN数为N,M,n的超几何分布，记作? ~H?N,M,n? ，此时有公式E?=
四、正态分布
（1）若X是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为f?x??nM。 N12???e2x?????2?2 ，
x?R （其中?,?是参数，且??0，???????）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
①曲线在x轴上方，并且关于直线x??对称；
②曲线在x??处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由?确定，?越大，曲线越“矮胖”，?越小，曲线越“高瘦”； ④f?x?图像与x轴之间的面积为1.
22（2）E?=? ，D?=? ，记作? ~N?,?.
??当??0,??1时， ?服从标准正态分布，记作? ~N?0,1?.
2（3）? ~N?,?，则?在????,????，
?????2?,??2??，???3?,??3??上
取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的3?原则。
题型归纳及思路提示
题型178 概率的计算
思路提示
要分析题中事件是独立事件、互斥事件还是对立事件，然后考虑用相应的概率公式计算，若A，B为独立事件，则有P?AB??B若?P?A?P?，
A,B为互斥事件，则
P?A?B??P?A??P?B? ，若A，B为对立事件，则P?A??P?B??1 ，如果为条件概
率，则需选用条件概率公式PBA=??P?AB?P?A?计算（其中A，B为两个事件，P?BA?表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率）。
例13.7 甲乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲乙各胜1局。
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率。
2018年高考数学总复习 随机变量及其分布
