….…………………………… … … …… … … …… … … ……… ……… …… …… …… …线 …… …… …：…号……学封… … … … …… …… ….….… .… ……：……………名…订姓…… ………… …… …… ………… …… …… ………：…级…年……业密…专 … ….… …… …装 .… …….…… ..…… ……… ……… ……… ……… ……… …..… ………：………院………………学………线中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期
?6、设总体X的概率密度函数为f(x,?)??2x?3?2,??x?2?,
《概率论与数理统计》试卷（ B 卷）
??0,其他 得分：
其中?是未知参数，X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本，若
题 一 二 三 四 五 六 七 八 号 E?n??c?X2?22ii?1????，则c?_____得 5n__________
分 阅 7、随机变量X~?(1),Y~U(0,1)，且X,Y相互独立，则
卷人 复 E(2X?Y)?___
32______，D(2X?Y)?____4912_______ 查人
8、设总体X~N(?,0.09)，X1,X2,X9是来自X的样本，已知x?4.2，则?计算中可能用到的数据如下：
的置信度为的置信区间为____(4.004,4.396)___________
t0.05(9)?1.8331,t0.025(9)?2.2622，z0.05?1.65,z0.025?1.96 .
9、设X1,X2,?,X15是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(0,22)，试
一、填空题（每小空3分，共30分）
求新的随机变量Y?X2?X2212???X101、事件A与B相互独立，且P(A)?0.4，P(AB)?0.7，则P(B)? 2(X2X22服从____F(10,5)_________分布 11?12???X15)二、(10分)已知男子有是色盲患者，女子有是色盲患者．今从男女人数相等2、若X服从区间(1,6)上的均匀分布，则方程y2?Xy?1?0有实根的概率为的人群中随机地挑选1人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少
____
45_________ 解：M表示“选出的是男性”，F表示“选出的是女性”，H表示“选出的人是3、设X在(0,1)上服从均匀分布，则Y?2X?1的概率密度函数是
患色盲”， 4分
?______f?1,1?y?3根据贝叶斯公式，有 Y(y)??2_____________
??0,其他
4、设X服从参数为?的泊松分布，且E(X2)?2，则??______1_________ P(M|H)?P(M)P(H|M)0.05P(M)P(H|M)?P(F)P(H|F)??0.50.05?0.5?0.0025?0.5?2021
5、随机变量X,Y独立同分布且X的分布函数为F(x)，则Z=min{X,Y}分布6分 函数为_____1?[1?F(x)]2______________
1
……………解：由卷积公式fZ(z)??????f(x,z?x)dx 3分
当x?0且z?x?0时被积函数不为零，即当0?x?z时被积函数不为零 2分 所以f(z)?………. ????zz?zz2?zedx?e?f(x,z?x)dx???022z?0 5
………… …… …… …… …… …… …… ………… …… …… …… …线 …… …… …：…号……学封… … … … …… …… ….….… .… ……：………名……订姓……… ……… … … …… … ……… …… ……… ……：……级…年……业…专密… … … 装 .… ….… ..… …… …… …… …… …… …… ……：…
?x,0?x?1三、(12分)设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)???k?x,1?x?2
分
??0,其他
（1）求常数k；（2）求X的分布函数；（3）求概率P(1?X?2)．
解：（1）由1??????f(x)dx??1xdx??201(k?x)dx?k?1
得k?2， 4分
?x,0?x?1X的概率密度函数为f(x)???2?x,1?x?2
??0,其他分
??0,x?0?（2）F(x)??x?xx20tdt?0?x?1??f(t)dt???2, 4??12?0xdx??x1(2?t)dt??x?2x?1,1?x?2?2?1，x?2分 分
（3）P(1?X?2)=F(2)?F(1)?1?11 2=2 4
分
四、(10分)设(X,Y)的联合概率密度函数是
??1(x?y)e?(x?y)f(x,y)??,x?0,y?0 2
??0其它 求Z?X?Y的概率密度函数．
2
Z????0z?0五、(10分)设(X,Y)具有概率密度为f(x,y)???x?y,0?x?1,0?y?10,,?其它求边缘密度函数fX(x)和条件密度函数fY|X(y|x)．
?1解：fx)????f(x,y)dy????0(x?y)dy?x?10?x?1X(?? 5
?2?0其他当0?x?1时，
?x?y0?y?1ff(x,y)??1Y|X(y|x)?f??x? 5
X(x)?2??0y取其他值
……..………………………….… ….…………………………… …… …… …… …… …… …… ………… …… …… …… …线 …… …… …：…号……学封… … … … …… …… ….….… .… ……：………名……订姓……… ……… … … …… … ……… …… ……… ……：……级…年……业…专密… … … 装 .… ….… ..… …
六、(10分)设随机变量(X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)???2,0?x?1,0?y?x?0,其他 （1）求随机变量(X,Y)的协方差cov(X,Y)； （2）求随机变量(X,Y)的相关系数． 解：（1）E(XY)????dx??xyf(x,y)dy??1dx?x2xydy??1?????000x3dx?14
E(X)????dx???1x?1????xf(x,y)dy=?dx?2xdy?2x2dx?20003 E(Y)??????dx?????yf(x,y)dy=?1x110dx?02ydy??0x2dx?3
cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)?1214?9?36 5（2）E(X2)??????dx?????x2f(x,y)dy=?1x2110dx?02xdy??02x3dx?2
E(Y2)??????dx?????y2f(x,y)dy=?1x2110dx?02y2dy?3?0x3dx?6 2D(X)?E(X2)?E2(X)?1?2?12???3???18
2D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?1?1?16???3???18
??Cov(X,Y)1/36D(X)D(Y)?1/18?12 5分 七、(8分)设各部件的重量都是随机变量，且他们相互独立，服从相同的分
布，其数学期望为，标准差为，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少（结果保留为?的函数形式.）
解：设第i个部件的重量为Xi，则E(Xi)?0.5，D(Xi)?0.01
5000X??Xi，则E(X)?2500，D(X)?50 2分
i?1由独立同分布的中心极限定理X?250050近似服从N(0,1)分布 2分
P(X?2510)?1?P(X?2510)?1?P??X?25002510?2500??50??50?50???1?????5?? ?4分
八、(10分)设总体X的概率密度函数为f(x)????2xe??x,x?0?0,x?0，其中参数
??0未知，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，
分
求（1）参数?的矩估计量；（2）参数?的最大似然估计量．
解：（1）由于E(X)?????2x2e??xdx?2，令
2?X，解得?的矩估计量为?=20??X
5分
nnn（2）似然函数为L(?)??f(xn???xii,?)??2ei?1i?1?xi，两边取对数
i?1lnL(?)?2nln?nn??lnxi???xi
i?1i?13
……………….… dlnL(?)2nn2???xi?0，解得?的极大似然估计量为?= 令
d??i?1X5分
4
2017-2018概率论与数理统计期末试题答案
