用导数研究函数的极值最值 1．已知为自然对数的底数，设函数f?x??xe，则（ ）
A．1是??的极小值点 B．?1是??的极小值点
C．1是??的极大值点 D．?1是??的极大值点
2．若函数f?x??x?3bx?3b在??内有极小值，则（ ）
1b? A．b?0 B．0?b?1 C．b?0 D．2
3．设方程有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_________．
?lnx?1?a?0?在定义域内有零4．已知函数f?x??ax点，则实数的取值范围是（ ） A．a?1 B．0?a?1 C．a?1 D．a?1
5．已知函数??????． （1）求函数??的极值点；
（2）若??恒成立，试确定实数k的取值范围．
exfxfxfxfx30,1x3?3x?kafx?lnx?1?kx?1?1fxfx?01．已知为自然对数的底数，设函数f?x??xe，则（ ）
A．1是??的极小值点 B．?1是??的极小值点
C．1是??的极大值点 D．?1是??的极大值点 【答案】B 【解析】
f?x??xe?f??x??e?x?1?， 令??，
函数??的单调递增区间是??， 令??，
函数??的单调递减区间是??， 故?1是??的极小值点． 故选：B． 【分析】求出??，然后解不等式??，即可得到函数的单调增区间，解不等式??，即可得到函数的单调减区间，进而得到函数的极值．
2．若函数f?x??x?3bx?3b在??内有极小值，则（ ）
1b? A．b?0 B．0?b?1 C．b?0 D．2【答案】B 【解析】
f'?x??3x?3b，要使??在??内有极小值，则有
??3b?0??f??0??0，即． ???3?3b?0f1?0?????exfxfxfxfxxxf'x?0?x??1fx??1,??f'x?0?x??1fx???,?1fxf'xf'x?0f'x?030,12fx0,1． 故选：B．
【分析】要使??在??内有极值，则??在
??f??0??0内有变号零点，再由极小值，可得． ????f1?0????
3．设方程有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_________． 【解析】 设f?x??x?3x，
对函数求导，f??x??3x?3，令??得x??1，1． x??1时，??单调增，?1?x?1时，??单调减，x?1时，??单调增， 又??，??，
要使方程有三个不等实根，则直线y?k与??的图像有三个交点， ??2?k?2．
故答案为：??．
【分析】利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题．
?lnx?1?a?0?在定义域内有零4．已知函数f?x??ax点，则实数的取值范围是（ ） A．a?1 B．0?a?1 C．a?1
?0?b?1fx0,1fx0,1x3?3x?k32f?x?0fxfxfxf?1?2f1??2fx?2,2a D．a?1 【答案】B 【解析】
方程ax?lnx?1?0有解，即求a?x?xlnx的值域， 令??，??，易知??在x?1时取得最大值，
gx?x?xlnxg?x?1?lnx?1??lnxgx则a?1?1?ln1?1，故故选：B．
0?a?1．
5．已知函数f?x??ln?x?1??k?x?1??1． （1）求函数f?x?的极值点；
（2）若f?x??0恒成立，试确定实数k的取值范围． 【解析】
（1）f?x?的定义域为?1,???，f??x??x1?k． ?1当k?0时，
x?1?0，
?f??x??0，则f?x?在?1,???上是增函数，f?x?在?1,???上无极
值点．
当k?0时，令f'?x??0，则x?1?1． k11??fx??k???所以当x??时，1,1???x?1k???f?x?1?k?011??1k，
1?在x???1,1??上是增函数， k??1?时，f??x??1?k?当x???1?,???x?1k??1?k?011??1k，
?f?x?1?在x???1?,???上是减函数． k???x?1?1k时，f?x?取得极大值．
综上可知，当k?0时，f?x?无极值点；当k?0时，f?x?有唯一极值点x?1?1． k（2）由（1）可知，当k?0时，f?2??1?k?0，f?x??0不成立．
故只需考虑k?0．
由（1）知，f?x?max1???f?1????lnkk??max，
即可，
若f?x??0恒成立，只需f?x?化简得：k?1．
1???f?1????lnk?0k??所以，k的取值范围是?1,???．
【分析】（1）f??x??x1?k，当k?0时，由x?1?0，得?1f??x??0，则f?x?在?1,???上是增函数，f?x?在?1,???上无极值
??1?点．当k?0时，由导数的符号可得f?x?在x???1,1??上是增k1?上是减函数，故x?1?1时，函数，f?x?在x??f?x?1?,????kk??取得极大值；
（2）由（1）可知只需考虑k?0，f?x?可，化简得：k?1．
max1???f?1????lnk?0k??即
用导数研究函数的极值最值-高二数学重难点高分秘籍
