10．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站． 如图3所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用
下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与 空间站对接．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T， 引力常量为G，月球的半径为R.下列判断正确的是( ) A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速 B．图中的航天飞机正在加速飞向B处 4π2r3
C．月球的质量M＝2 GTD．月球的第一宇宙速度v＝答案 ABC
解析 航天飞机到达B处时速度比较大，如果不减速此时万有引力不足以提供向心力，这时航天飞机将做离心运动，故A正确；因为航天飞机越接近月球，受到的万有引力越大，加速度越大，所以正在加速飞向B处，故B正确；由万有引力提供空间站做圆Mm4π2r4π2r32πr
周运动的向心力，则G2＝m2，整理得M＝2，故C正确；速度v＝是空间rTGTT站在轨道r上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故D错误． 题组5 万有引力定律的综合应用
11．(2011·浙江·19)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径
为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则
34π2r 1A．X星球的质量为M＝2 GT 1
图3
2πr
T
( )
4π2r1B．X星球表面的重力加速度为gX＝2
T 1
v1
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝v2D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1 答案 AD
Mm
解析 飞船绕X星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G2r 14π2r14π2r1 3Mm4π2r1＝m2，则X星球质量M＝2，选项A正确．由G2＝m2＝ma1，知r1轨道T GT r T 11114π2r1GMMm
处的向心加速度a1＝2＝2，而对绕X星球表面飞行的飞船有G2＝mgX(R为X
T r R11
m1r2 m2r1
3r 2 r1 3v2MGM4π2r1Mm
星球的半径)，则gX＝G2>a1＝2＝2，选项B错误．由G2＝m知v＝
Rr T rr11v1
故＝ v2＝T1
r2Mm4π2r
，选项C错误．根据G2＝m2得T＝ r1rT
3r 23，选项D正确． r 1
GM，r
4π2r3T2，故＝ GMT13r 23，即T2r 1
12．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的
影响．
(1)求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；
(3)由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出平均密度表达式． 3gR2T23g
答案 (1)gR (2) 2 (3)ρ＝4π4πGR解析 (1)设卫星的质量为m，地球的质量为M 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动满足 Mm
G2＝mg R
①
第一宇宙速度是指卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 v Mm1
G2＝m RR
2
②
①式代入②式，得v1＝gR
Mm2π(2)卫星受到的万有引力为G2＝m()2r
rT3gR2T2由①③式解得r＝ 4π2Mm0(3)设质量为m0的小物体在地球表面附近所受重力为m0g，则G2＝m0g
R4
将地球看成是半径为R的球体，其体积为V＝πR3
3M3g
地球的平均密度为ρ＝＝ V4πGR
13．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆 轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后 在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图4
所示．已知同步卫星的运行周期为T，地球的半径为R，地球表 面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求： (1)卫星在近地点A的加速度大小；
图4
③
(2)远地点B距地面的高度． 3gR2T2R2g
答案 (1) (2) －R
4π2?R＋h1?2解析 (1)设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，
Mm
根据牛顿第二定律有G＝ma
?R＋h1?2设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有 Mm′
G2＝m′g
R
R2g
由以上两式得a＝ ?R＋h1?2(2)设远地点B距地面的高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
Mm4π2G＝m2(R＋h2)
T?R＋h2?23gR2T2解得：h2＝ －R.
4π2
2014《步步高》物理大一轮复习讲义 第04章 第4课时 万有引力与航天
