近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运行．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g.求： (1)地球的第一宇宙速度；
(2)“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比． v2Mm
解析 (1)设地球的第一宇宙速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G2＝m
RRMm
在地面附近G2＝mg
R联立解得v＝gR.
(2)根据题意可知，设“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度为v1 v1＝v＝gR
2v Mm2
对接后，整体的运行速度为v2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m，
?R＋h?2R＋h
解得v2＝
gR2，所以v1∶v2＝ R＋h
R＋h
R
R＋h
. R
答案 (1)gR (2)
突破训练5 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 2RhA.
t答案 B
解析 设在月球表面处的重力加速度为g 12h则h＝gt2，所以g＝2
2t
飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有 v2
mg＝m
R所以v＝gR＝
2hR2Rh
，选项B正确. 2＝tt
B.2Rh t
C.
D.
Rh 2t
( )
Rh t
21．双星系统模型问题的分析与计算 1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；
(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L. 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
例6 如图6所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在 引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中 心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线， A和B分别在O的两侧．引力常量为G. (1)求两星球做圆周运动的周期；
图6
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
解析 (1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有Mm引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有：F＝G
?R＋r?2由匀速圆周运动的规律得 2πF＝m()2r
T2πF＝M()2R
T
② ③ ④ ⑤
①
由题意有L＝R＋r
联立①②③④式得T＝2π
L3
G?M＋m?
(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，由题意知，月球做圆周
运动的周期可由⑤式得出 T1＝2π
L′3
G?M′＋m′?
⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则 M′m′2π2G＝m′()L′
T2L′2
⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得 T2＝2π
L′3 GM′
⑧
m′T2由⑥⑧式得()2＝1＋ T1M′T2代入题给数据得()2＝1.012
T1答案 (1)2π
L3 (2)1.012
G?M＋m?
突破训练6 (2012·重庆·18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( ) 1A．轨道半径约为卡戎的
71
B．角速度大小约为卡戎的
7C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A
解析 本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；m1m2r1m21v1ωr1m21
由G2＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此＝＝，＝＝＝，故A
Lr2m17v2ωr2m17对，C错.
高考题组
1．(2012·广东理综·21)如图7所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若 飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于 在轨道1上，飞船在轨道2上的 A．动能大 B．向心加速度大 C．运行周期长 D．角速度小 答案 CD
GMm解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，即F引＝F向，所以2rmv24π2mrGM1GMm
＝ma向＝＝2＝mrω2，即a向＝2，Ek＝mv2＝，T＝
rTr22r
4π2r3，ω＝ GM
GMr3
图7
( )
2π
(或用公式T＝求解)．因为r1
ω正确．
2．(2012·北京·18)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是
( )
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 答案 B
a3
解析 根据开普勒第三定律，2＝恒量知，当圆轨道的半径R与椭圆轨道的半长轴a相
T等时，两卫星的周期相等，故选项A错误；卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理知，动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B正确；所有同步卫星的运行周Mm2π
期相等，根据G2＝m()2r知，同步卫星轨道的半径r一定，故选项C错误；根据卫
rT星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点时，轨道平面必过地心，但轨道平面不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道平面可以不重合，选项D错误．
3．(2012·山东理综·15)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功
实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应v1的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则等于
v2A.
3R 13 R 2
( )
B. R2D. R1
R2 R1
2R 2C.2 R1
答案 B
Mmmv解析 “天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G2＝得线速度v
RR＝
v1GM，所以＝ Rv2
R2，故选项B正确，选项A、C、D错误． R1
2
4．(2011·北京理综·15)由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的
( )
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同 D．速率可以不同
C．轨道平面可以不同 答案 A
v2GMm4π2r3GM
解析 同步卫星运行时，万有引力提供向心力，2＝m2r＝m，故有2＝2，v＝
rTrT4πGM，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确r
定的，速度v也是确定的，同步卫星的质量可以不同．要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面．故只有选项A正确． 模拟题组
5．如图8所示，某颗天文卫星飞往距离地球约160万千米的 第二拉格朗日点(图中L2)，L2点处在太阳与地球连线的外 侧，在太阳和地球引力的共同作用下，卫星在该点能与地 球同步绕太阳运动(视为圆周运动)，且时刻保持背对太阳 和地球的姿势，不受太阳的干扰而进行天文观测．不考虑
图8
( )
其他星球影响，下列关于工作在L2点的天文卫星的说法中正确的是 A．将它从地球上发射到L2点的发射速度大于7.9 km/s B．它绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期长 C．它绕太阳运行的线速度比地球绕太阳运行的线速度大
D．它绕太阳运行的向心加速度比地球绕太阳运行的向心加速度大 答案 ACD
解析 卫星的发射速度一定大于7.9 km/s，选项A对．由于卫星和地球同步，因此它们
2014《步步高》物理大一轮复习讲义 第04章 第4课时 万有引力与航天
