高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略
在近儿年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、儿何, 成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究 的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完 备。要求解答者自己去探索，结合己有条件，进行观察、分析、比较和概括。它 对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它 有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经 历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断 型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略乂有所不同。因此，我们 在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制 定解题策略。下面分别加以说明：
一、条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确 定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成 立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的 过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作 充分条件，应引起注意。
例1. (2002年上海10)设函数/?⑴= sin2x,若是偶函数，贝Ut的一个 可能值是 o 分析与解答：：/(x + r) = sin2(x + r) = sin(2x + 2r).X/(x + 偶函数
/. f(x + t) = f(-x + r)B|Jsin(2x + It) = sin(-2x + 2r)。由此可得
、
2x + 2r = -2x + 2/ +
2k +1
+ t = TT- (-2X + 2t) + 2ki(k E Z) /. t = --- 7r(k e Z)
4
评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分 条
件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这 类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.
二、结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决 这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情 形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形 去认证结论。
例2. （2004年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基
本量”。设｛%｝是公比为q的无穷等比数列，下列｛%｝的四组量中，一定能成为该 数列“基本量”的是第 组。（写出所有符合要求的组号）。
①Si与S2；②a2与S3;③ai与an；④q与a”.
其中n为大于1的整数，Sn为｛%｝的前n项和。
分析与解答：（1）由S［和S2，司?知ai和a?。由—=q 得公比q,故能确定 % 数列是该数列的“基本量”。
（2） 由a?与S3,设其公比为q,首项为a.可得
a2 = axq.ax =二，如=% + %q + %q~ ? q
. .如= --- % + a）q
_' q ~ 「?
+ （a2 - S3）q + a2 = 0
满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是 数列｛%｝的基本量。
（3）
由ai与a。，可得=—,当n为奇数时，q可能有两个值,
%
故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。
（4）
数列｛%｝
由q与an，由q二弓矿七可得。］二三％，故数列｛%｝能够确定，是
的一个基本量。
故应填①、④
评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。木题考查确
定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能 够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方而，不仅可以训练自己的思维， 而且可以纵观全局，从整体上对知识的金貌有一个较好的理解.
例3 (2002上海).规定C.=-(七J二3二吧),其中ER, m是正整数，且
m\\
&? = 1,这是组合数C；；1 (n, m是正整数，且m (I) 求C%的值; (II )组合数的两个性质：①C： = CT ；②C：+ C：= = C；：? 是否都能推广到(XER, m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并 给出证明；若不能，则说明理由； (III)我们知道，组合数是正整数.那么，对于C. XER, 〃z是正整数, 是否也有同 样的结论？你能举出一些C: ER成立的例子吗？ 分析与解答：(I ) 史客四 11628. (II) 一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定 义. 从这个角度很快可以看出：性质①不能推广.例如当x = ^2时，C上有定义， 但C牙无意义. 性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：+ 其中 x E R ,秫是正整数. 类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造 组合数性质的证明过程来证明这个结论.事实上， 当刀=1时，e+C?=x + l=C\\.当m>2时， 妇_ .(.T)???(m + 1) \)???(i〃 + 2) x v — m! (/n-1)! _ x(x-l)---(x-m + 2)f x-m + 1 (m-1)! v m > x(x-l)---(x-/?2 + 2)(x+1) m\\ Cm x+l 由此，可以知道，性质②能够推广.
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